Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107683 / 42211
↖ ↑ ↗
← N 53.795784°
E115.760193°		 ← 180.40 m → N 53.795784°
E115.762940°		 →
↑
180.43 m
↓
↑
180.43 m
↓
N 53.794162°
E115.760193°		 ← 180.41 m →
32 550 m²		 N 53.794162°
E115.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821559906005859 y=0.322048187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821559906005859 × 217)
    floor (0.821559906005859 × 131072)
    floor (107683.5)     		tx = 107683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322048187255859 × 217)
    floor (0.322048187255859 × 131072)
    floor (42211.5)     		ty = 42211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107683 / 42211 ti = "17/107683/42211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107683/42211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107683 ÷ 217
    107683 ÷ 131072     		x = 0.821556091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42211 ÷ 217
    42211 ÷ 131072     		y = 0.322044372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821556091308594 × 2 - 1) × π
    0.643112182617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.02039651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322044372558594 × 2 - 1) × π
    0.355911254882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.11812818363781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02039651} λ = 2.02039651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11812818363781))-π/2
    2×atan(3.05912272485855)-π/2
    2×1.25485494219364-π/2
    2.50970988438729-1.57079632675     		φ = 0.93891356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02039651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.760193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93891356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.795784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107683 KachelY 42211 2.02039651 0.93891356 115.760193 53.795784
    Oben rechts KachelX + 1 107684 KachelY 42211 2.02044445 0.93891356 115.762940 53.795784
    Unten links KachelX 107683 KachelY + 1 42212 2.02039651 0.93888524 115.760193 53.794162
    Unten rechts KachelX + 1 107684 KachelY + 1 42212 2.02044445 0.93888524 115.762940 53.794162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93891356-0.93888524) × R
    2.83200000000816e-05 × 6371000     		dl = 180.42672000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93891356-0.93888524) × R
    2.83200000000816e-05 × 6371000     		dr = 180.42672000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02039651-2.02044445) × cos(0.93891356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590665040202437 × 6371000     		do = 180.404306995841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02039651-2.02044445) × cos(0.93888524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590687891850894 × 6371000     		du = 180.411286477481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93891356)-sin(0.93888524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590665040202437-0.590687891850894)×R²
    abs(2.02044445-2.02039651)×2.28516484567232e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28516484567232e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28516484567232e-05×40589641000000     		ar = 32550.3870299245m²