Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107683 / 100242
↖ ↑ ↗
← S 68.546324°
E115.760193°		 ← 111.71 m → S 68.546324°
E115.762940°		 →
↑
111.68 m
↓
↑
111.68 m
↓
S 68.547329°
E115.760193°		 ← 111.70 m →
12 476 m²		 S 68.547329°
E115.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821559906005859 y=0.764789581298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821559906005859 × 217)
    floor (0.821559906005859 × 131072)
    floor (107683.5)     		tx = 107683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764789581298828 × 217)
    floor (0.764789581298828 × 131072)
    floor (100242.5)     		ty = 100242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107683 / 100242 ti = "17/107683/100242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107683/100242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107683 ÷ 217
    107683 ÷ 131072     		x = 0.821556091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100242 ÷ 217
    100242 ÷ 131072     		y = 0.764785766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821556091308594 × 2 - 1) × π
    0.643112182617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.02039651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764785766601562 × 2 - 1) × π
    -0.529571533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66369803821367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02039651} λ = 2.02039651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66369803821367))-π/2
    2×atan(0.189437137407585)-π/2
    2×0.187218639264848-π/2
    0.374437278529696-1.57079632675     		φ = -1.19635905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02039651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.760193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19635905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.546324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107683 KachelY 100242 2.02039651 -1.19635905 115.760193 -68.546324
    Oben rechts KachelX + 1 107684 KachelY 100242 2.02044445 -1.19635905 115.762940 -68.546324
    Unten links KachelX 107683 KachelY + 1 100243 2.02039651 -1.19637658 115.760193 -68.547329
    Unten rechts KachelX + 1 107684 KachelY + 1 100243 2.02044445 -1.19637658 115.762940 -68.547329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19635905--1.19637658) × R
    1.75299999998213e-05 × 6371000     		dl = 111.683629998862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19635905--1.19637658) × R
    1.75299999998213e-05 × 6371000     		dr = 111.683629998862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02039651-2.02044445) × cos(-1.19635905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365748852890854 × 6371000     		do = 111.709114048267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02039651-2.02044445) × cos(-1.19637658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365732537425519 × 6371000     		du = 111.704130885193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19635905)-sin(-1.19637658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365748852890854-0.365732537425519)×R²
    abs(2.02044445-2.02039651)×1.63154653349817e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63154653349817e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63154653349817e-05×40589641000000     		ar = 12475.8010922303m²