Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107681 / 42209
↖ ↑ ↗
← N 53.799028°
E115.754699°		 ← 180.39 m → N 53.799028°
E115.757446°		 →
↑
180.36 m
↓
↑
180.36 m
↓
N 53.797406°
E115.754699°		 ← 180.40 m →
32 536 m²		 N 53.797406°
E115.757446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821544647216797 y=0.322032928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821544647216797 × 217)
    floor (0.821544647216797 × 131072)
    floor (107681.5)     		tx = 107681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322032928466797 × 217)
    floor (0.322032928466797 × 131072)
    floor (42209.5)     		ty = 42209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107681 / 42209 ti = "17/107681/42209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107681/42209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107681 ÷ 217
    107681 ÷ 131072     		x = 0.821540832519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42209 ÷ 217
    42209 ÷ 131072     		y = 0.322029113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821540832519531 × 2 - 1) × π
    0.643081665039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.02030063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322029113769531 × 2 - 1) × π
    0.355941772460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.11822405743705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02030063} λ = 2.02030063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11822405743705))-π/2
    2×atan(3.05941602863638)-π/2
    2×1.25488325574925-π/2
    2.5097665114985-1.57079632675     		φ = 0.93897018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02030063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.754699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93897018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.799028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107681 KachelY 42209 2.02030063 0.93897018 115.754699 53.799028
    Oben rechts KachelX + 1 107682 KachelY 42209 2.02034857 0.93897018 115.757446 53.799028
    Unten links KachelX 107681 KachelY + 1 42210 2.02030063 0.93894187 115.754699 53.797406
    Unten rechts KachelX + 1 107682 KachelY + 1 42210 2.02034857 0.93894187 115.757446 53.797406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93897018-0.93894187) × R
    2.83100000000314e-05 × 6371000     		dl = 180.3630100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93897018-0.93894187) × R
    2.83100000000314e-05 × 6371000     		dr = 180.3630100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02030063-2.02034857) × cos(0.93897018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590619351623368 × 6371000     		do = 180.390352527769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02030063-2.02034857) × cos(0.93894187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590642196149589 × 6371000     		du = 180.397329834095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93897018)-sin(0.93894187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590619351623368-0.590642196149589)×R²
    abs(2.02034857-2.02030063)×2.28445262213661e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28445262213661e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28445262213661e-05×40589641000000     		ar = 32536.3761832002m²