Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107679 / 42335
↖ ↑ ↗
← N 53.594135°
E115.749207°		 ← 181.27 m → N 53.594135°
E115.751953°		 →
↑
181.25 m
↓
↑
181.25 m
↓
N 53.592505°
E115.749207°		 ← 181.28 m →
32 857 m²		 N 53.592505°
E115.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821529388427734 y=0.322994232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821529388427734 × 217)
    floor (0.821529388427734 × 131072)
    floor (107679.5)     		tx = 107679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322994232177734 × 217)
    floor (0.322994232177734 × 131072)
    floor (42335.5)     		ty = 42335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107679 / 42335 ti = "17/107679/42335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107679/42335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107679 ÷ 217
    107679 ÷ 131072     		x = 0.821525573730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42335 ÷ 217
    42335 ÷ 131072     		y = 0.322990417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821525573730469 × 2 - 1) × π
    0.643051147460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.02020476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322990417480469 × 2 - 1) × π
    0.354019165039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.11218400808492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02020476} λ = 2.02020476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11218400808492))-π/2
    2×atan(3.04099269975283)-π/2
    2×1.2530952206223-π/2
    2.50619044124459-1.57079632675     		φ = 0.93539411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02020476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.749207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93539411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.594135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107679 KachelY 42335 2.02020476 0.93539411 115.749207 53.594135
    Oben rechts KachelX + 1 107680 KachelY 42335 2.02025270 0.93539411 115.751953 53.594135
    Unten links KachelX 107679 KachelY + 1 42336 2.02020476 0.93536566 115.749207 53.592505
    Unten rechts KachelX + 1 107680 KachelY + 1 42336 2.02025270 0.93536566 115.751953 53.592505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93539411-0.93536566) × R
    2.84499999999577e-05 × 6371000     		dl = 181.25494999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93539411-0.93536566) × R
    2.84499999999577e-05 × 6371000     		dr = 181.25494999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02020476-2.02025270) × cos(0.93539411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59350127972286 × 6371000     		do = 181.270567550183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02020476-2.02025270) × cos(0.93536566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593524176982808 × 6371000     		du = 181.277560962746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93539411)-sin(0.93536566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59350127972286-0.593524176982808)×R²
    abs(2.02025270-2.02020476)×2.28972599477517e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28972599477517e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28972599477517e-05×40589641000000     		ar = 32856.8214552637m²