Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107677 / 43619
↖ ↑ ↗
← N 51.448872°
E115.743714°		 ← 190.31 m → N 51.448872°
E115.746460°		 →
↑
190.30 m
↓
↑
190.30 m
↓
N 51.447160°
E115.743714°		 ← 190.31 m →
36 216 m²		 N 51.447160°
E115.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821514129638672 y=0.332790374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821514129638672 × 217)
    floor (0.821514129638672 × 131072)
    floor (107677.5)     		tx = 107677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332790374755859 × 217)
    floor (0.332790374755859 × 131072)
    floor (43619.5)     		ty = 43619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107677 / 43619 ti = "17/107677/43619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107677/43619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107677 ÷ 217
    107677 ÷ 131072     		x = 0.821510314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43619 ÷ 217
    43619 ÷ 131072     		y = 0.332786560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821510314941406 × 2 - 1) × π
    0.643020629882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.02010889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332786560058594 × 2 - 1) × π
    0.334426879882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.05063302897277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02010889} λ = 2.02010889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05063302897277))-π/2
    2×atan(2.8594606667029)-π/2
    2×1.23437427053973-π/2
    2.46874854107946-1.57079632675     		φ = 0.89795221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02010889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.743714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89795221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.448872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107677 KachelY 43619 2.02010889 0.89795221 115.743714 51.448872
    Oben rechts KachelX + 1 107678 KachelY 43619 2.02015682 0.89795221 115.746460 51.448872
    Unten links KachelX 107677 KachelY + 1 43620 2.02010889 0.89792234 115.743714 51.447160
    Unten rechts KachelX + 1 107678 KachelY + 1 43620 2.02015682 0.89792234 115.746460 51.447160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89795221-0.89792234) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dl = 190.30176999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89795221-0.89792234) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dr = 190.30176999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02010889-2.02015682) × cos(0.89795221) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.623212752819017 × 6371000     		do = 190.30551132282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02010889-2.02015682) × cos(0.89792234) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.623236112444431 × 6371000     		du = 190.312644465456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89795221)-sin(0.89792234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623212752819017-0.623236112444431)×R²
    abs(2.02015682-2.02010889)×2.3359625414332e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3359625414332e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3359625414332e-05×40589641000000     		ar = 36216.1543728629m²