Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107677 / 42585
↖ ↑ ↗
← N 53.184642°
E115.743714°		 ← 182.98 m → N 53.184642°
E115.746460°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
N 53.182996°
E115.743714°		 ← 182.99 m →
33 494 m²		 N 53.182996°
E115.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821514129638672 y=0.324901580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821514129638672 × 217)
    floor (0.821514129638672 × 131072)
    floor (107677.5)     		tx = 107677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324901580810547 × 217)
    floor (0.324901580810547 × 131072)
    floor (42585.5)     		ty = 42585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107677 / 42585 ti = "17/107677/42585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107677/42585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107677 ÷ 217
    107677 ÷ 131072     		x = 0.821510314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42585 ÷ 217
    42585 ÷ 131072     		y = 0.324897766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821510314941406 × 2 - 1) × π
    0.643020629882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.02010889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324897766113281 × 2 - 1) × π
    0.350204467773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.10019978317991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02010889} λ = 2.02010889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10019978317991))-π/2
    2×atan(3.00476626574478)-π/2
    2×1.24952171839122-π/2
    2.49904343678244-1.57079632675     		φ = 0.92824711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02010889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.743714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92824711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.184642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107677 KachelY 42585 2.02010889 0.92824711 115.743714 53.184642
    Oben rechts KachelX + 1 107678 KachelY 42585 2.02015682 0.92824711 115.746460 53.184642
    Unten links KachelX 107677 KachelY + 1 42586 2.02010889 0.92821838 115.743714 53.182996
    Unten rechts KachelX + 1 107678 KachelY + 1 42586 2.02015682 0.92821838 115.746460 53.182996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92824711-0.92821838) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dl = 183.038830000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92824711-0.92821838) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dr = 183.038830000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02010889-2.02015682) × cos(0.92824711) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.599238214686798 × 6371000     		do = 182.984597690449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02010889-2.02015682) × cos(0.92821838) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.599261214837785 × 6371000     		du = 182.991621063244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92824711)-sin(0.92821838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599238214686798-0.599261214837785)×R²
    abs(2.02015682-2.02010889)×2.30001509862188e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30001509862188e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30001509862188e-05×40589641000000     		ar = 33493.9294465454m²