Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107673 / 42581
↖ ↑ ↗
← N 53.191224°
E115.732727°		 ← 182.99 m → N 53.191224°
E115.735474°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 53.189579°
E115.732727°		 ← 183 m →
33 484 m²		 N 53.189579°
E115.735474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821483612060547 y=0.324871063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821483612060547 × 217)
    floor (0.821483612060547 × 131072)
    floor (107673.5)     		tx = 107673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324871063232422 × 217)
    floor (0.324871063232422 × 131072)
    floor (42581.5)     		ty = 42581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107673 / 42581 ti = "17/107673/42581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107673/42581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107673 ÷ 217
    107673 ÷ 131072     		x = 0.821479797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42581 ÷ 217
    42581 ÷ 131072     		y = 0.324867248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821479797363281 × 2 - 1) × π
    0.642959594726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.01991714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324867248535156 × 2 - 1) × π
    0.350265502929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.10039153077839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01991714} λ = 2.01991714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10039153077839))-π/2
    2×atan(3.0053424777021)-π/2
    2×1.24957916522601-π/2
    2.49915833045202-1.57079632675     		φ = 0.92836200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01991714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.732727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92836200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.191224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107673 KachelY 42581 2.01991714 0.92836200 115.732727 53.191224
    Oben rechts KachelX + 1 107674 KachelY 42581 2.01996508 0.92836200 115.735474 53.191224
    Unten links KachelX 107673 KachelY + 1 42582 2.01991714 0.92833328 115.732727 53.189579
    Unten rechts KachelX + 1 107674 KachelY + 1 42582 2.01996508 0.92833328 115.735474 53.189579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92836200-0.92833328) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92836200-0.92833328) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01991714-2.01996508) × cos(0.92836200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599146233156042 × 6371000     		do = 182.994681629777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01991714-2.01996508) × cos(0.92833328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59916922727865 × 6371000     		du = 183.00170462669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92836200)-sin(0.92833328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599146233156042-0.59916922727865)×R²
    abs(2.01996508-2.01991714)×2.29941226076447e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29941226076447e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29941226076447e-05×40589641000000     		ar = 33484.1163497139m²