Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107662 / 41821
↖ ↑ ↗
← N 54.423724°
E115.702514°		 ← 177.69 m → N 54.423724°
E115.705261°		 →
↑
177.69 m
↓
↑
177.69 m
↓
N 54.422126°
E115.702514°		 ← 177.70 m →
31 574 m²		 N 54.422126°
E115.705261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821399688720703 y=0.319072723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821399688720703 × 217)
    floor (0.821399688720703 × 131072)
    floor (107662.5)     		tx = 107662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319072723388672 × 217)
    floor (0.319072723388672 × 131072)
    floor (41821.5)     		ty = 41821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107662 / 41821 ti = "17/107662/41821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107662/41821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107662 ÷ 217
    107662 ÷ 131072     		x = 0.821395874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41821 ÷ 217
    41821 ÷ 131072     		y = 0.319068908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821395874023438 × 2 - 1) × π
    0.642791748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01938983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319068908691406 × 2 - 1) × π
    0.361862182617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.13682357448963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01938983} λ = 2.01938983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13682357448963))-π/2
    2×atan(3.11685217574212)-π/2
    2×1.26033475106058-π/2
    2.52066950212116-1.57079632675     		φ = 0.94987318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01938983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.702514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94987318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.423724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107662 KachelY 41821 2.01938983 0.94987318 115.702514 54.423724
    Oben rechts KachelX + 1 107663 KachelY 41821 2.01943777 0.94987318 115.705261 54.423724
    Unten links KachelX 107662 KachelY + 1 41822 2.01938983 0.94984529 115.702514 54.422126
    Unten rechts KachelX + 1 107663 KachelY + 1 41822 2.01943777 0.94984529 115.705261 54.422126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94987318-0.94984529) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dl = 177.687190000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94987318-0.94984529) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dr = 177.687190000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01938983-2.01943777) × cos(0.94987318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581786242140229 × 6371000     		do = 177.692493527382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01938983-2.01943777) × cos(0.94984529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581808926014782 × 6371000     		du = 177.699421766553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94987318)-sin(0.94984529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581786242140229-0.581808926014782)×R²
    abs(2.01943777-2.01938983)×2.26838745526203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26838745526203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26838745526203e-05×40589641000000     		ar = 31574.2953908661m²