Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107655 / 100177
↖ ↑ ↗
← S 68.480933°
E115.683289°		 ← 112.01 m → S 68.480933°
E115.686035°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 68.481941°
E115.683289°		 ← 112.01 m →
12 545 m²		 S 68.481941°
E115.686035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821346282958984 y=0.764293670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821346282958984 × 217)
    floor (0.821346282958984 × 131072)
    floor (107655.5)     		tx = 107655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764293670654297 × 217)
    floor (0.764293670654297 × 131072)
    floor (100177.5)     		ty = 100177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107655 / 100177 ti = "17/107655/100177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107655/100177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107655 ÷ 217
    107655 ÷ 131072     		x = 0.821342468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100177 ÷ 217
    100177 ÷ 131072     		y = 0.764289855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821342468261719 × 2 - 1) × π
    0.642684936523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.01905428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764289855957031 × 2 - 1) × π
    -0.528579711914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.66058213973837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01905428} λ = 2.01905428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66058213973837))-π/2
    2×atan(0.190028324856924)-π/2
    2×0.187789284328276-π/2
    0.375578568656551-1.57079632675     		φ = -1.19521776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01905428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.683289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19521776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.480933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107655 KachelY 100177 2.01905428 -1.19521776 115.683289 -68.480933
    Oben rechts KachelX + 1 107656 KachelY 100177 2.01910221 -1.19521776 115.686035 -68.480933
    Unten links KachelX 107655 KachelY + 1 100178 2.01905428 -1.19523534 115.683289 -68.481941
    Unten rechts KachelX + 1 107656 KachelY + 1 100178 2.01910221 -1.19523534 115.686035 -68.481941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19521776--1.19523534) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19521776--1.19523534) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01905428-2.01910221) × cos(-1.19521776) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.366810828565503 × 6371000     		do = 112.010099235775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01905428-2.01910221) × cos(-1.19523534) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.366794473912998 × 6371000     		du = 112.005105145886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19521776)-sin(-1.19523534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366810828565503-0.366794473912998)×R²
    abs(2.01910221-2.01905428)×1.63546525045466e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.63546525045466e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.63546525045466e-05×40589641000000     		ar = 12545.0956222187m²