Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107654 / 100162
↖ ↑ ↗
← S 68.465816°
E115.680542°		 ← 112.11 m → S 68.465816°
E115.683289°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
S 68.466824°
E115.680542°		 ← 112.10 m →
12 570 m²		 S 68.466824°
E115.683289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821338653564453 y=0.764179229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821338653564453 × 217)
    floor (0.821338653564453 × 131072)
    floor (107654.5)     		tx = 107654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764179229736328 × 217)
    floor (0.764179229736328 × 131072)
    floor (100162.5)     		ty = 100162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107654 / 100162 ti = "17/107654/100162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107654/100162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107654 ÷ 217
    107654 ÷ 131072     		x = 0.821334838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100162 ÷ 217
    100162 ÷ 131072     		y = 0.764175415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821334838867188 × 2 - 1) × π
    0.642669677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01900634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764175415039062 × 2 - 1) × π
    -0.528350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65986308624406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01900634} λ = 2.01900634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65986308624406))-π/2
    2×atan(0.190165014525631)-π/2
    2×0.187921206750045-π/2
    0.37584241350009-1.57079632675     		φ = -1.19495391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01900634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.680542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19495391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.465816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107654 KachelY 100162 2.01900634 -1.19495391 115.680542 -68.465816
    Oben rechts KachelX + 1 107655 KachelY 100162 2.01905428 -1.19495391 115.683289 -68.465816
    Unten links KachelX 107654 KachelY + 1 100163 2.01900634 -1.19497151 115.680542 -68.466824
    Unten rechts KachelX + 1 107655 KachelY + 1 100163 2.01905428 -1.19497151 115.683289 -68.466824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19495391--1.19497151) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dl = 112.129600000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19495391--1.19497151) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dr = 112.129600000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01900634-2.01905428) × cos(-1.19495391) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.367056274276228 × 6371000     		do = 112.108434193425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01900634-2.01905428) × cos(-1.19497151) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.367039902721597 × 6371000     		du = 112.103433899237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19495391)-sin(-1.19497151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367056274276228-0.367039902721597)×R²
    abs(2.01905428-2.01900634)×1.63715546314114e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.63715546314114e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.63715546314114e-05×40589641000000     		ar = 12570.3935425451m²