Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107652 / 42552
↖ ↑ ↗
← N 53.238921°
E115.675049°		 ← 182.79 m → N 53.238921°
E115.677795°		 →
↑
182.78 m
↓
↑
182.78 m
↓
N 53.237277°
E115.675049°		 ← 182.80 m →
33 412 m²		 N 53.237277°
E115.677795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821323394775391 y=0.324649810791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821323394775391 × 217)
    floor (0.821323394775391 × 131072)
    floor (107652.5)     		tx = 107652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324649810791016 × 217)
    floor (0.324649810791016 × 131072)
    floor (42552.5)     		ty = 42552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107652 / 42552 ti = "17/107652/42552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107652/42552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107652 ÷ 217
    107652 ÷ 131072     		x = 0.821319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42552 ÷ 217
    42552 ÷ 131072     		y = 0.32464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821319580078125 × 2 - 1) × π
    0.64263916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01891046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32464599609375 × 2 - 1) × π
    0.3507080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10178170086737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01891046} λ = 2.01891046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10178170086737))-π/2
    2×atan(3.00952332028959)-π/2
    2×1.24999539108408-π/2
    2.49999078216816-1.57079632675     		φ = 0.92919446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01891046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.675049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92919446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.238921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107652 KachelY 42552 2.01891046 0.92919446 115.675049 53.238921
    Oben rechts KachelX + 1 107653 KachelY 42552 2.01895840 0.92919446 115.677795 53.238921
    Unten links KachelX 107652 KachelY + 1 42553 2.01891046 0.92916577 115.675049 53.237277
    Unten rechts KachelX + 1 107653 KachelY + 1 42553 2.01895840 0.92916577 115.677795 53.237277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92919446-0.92916577) × R
    2.86900000000534e-05 × 6371000     		dl = 182.78399000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92919446-0.92916577) × R
    2.86900000000534e-05 × 6371000     		dr = 182.78399000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01891046-2.01895840) × cos(0.92919446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598479525179003 × 6371000     		do = 182.791051852526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01891046-2.01895840) × cos(0.92916577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598502509584828 × 6371000     		du = 182.798071881683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92919446)-sin(0.92916577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598479525179003-0.598502509584828)×R²
    abs(2.01895840-2.01891046)×2.29844058247108e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29844058247108e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29844058247108e-05×40589641000000     		ar = 33411.9193707392m²