Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107645 / 42499
↖ ↑ ↗
← N 53.325952°
E115.655823°		 ← 182.38 m → N 53.325952°
E115.658569°		 →
↑
182.40 m
↓
↑
182.40 m
↓
N 53.324312°
E115.655823°		 ← 182.39 m →
33 267 m²		 N 53.324312°
E115.658569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821269989013672 y=0.324245452880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821269989013672 × 217)
    floor (0.821269989013672 × 131072)
    floor (107645.5)     		tx = 107645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324245452880859 × 217)
    floor (0.324245452880859 × 131072)
    floor (42499.5)     		ty = 42499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107645 / 42499 ti = "17/107645/42499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107645/42499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107645 ÷ 217
    107645 ÷ 131072     		x = 0.821266174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42499 ÷ 217
    42499 ÷ 131072     		y = 0.324241638183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821266174316406 × 2 - 1) × π
    0.642532348632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.01857491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324241638183594 × 2 - 1) × π
    0.351516723632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.10432235654723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01857491} λ = 2.01857491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10432235654723))-π/2
    2×atan(3.01717920417121)-π/2
    2×1.25075488279572-π/2
    2.50150976559144-1.57079632675     		φ = 0.93071344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01857491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.655823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93071344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.325952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107645 KachelY 42499 2.01857491 0.93071344 115.655823 53.325952
    Oben rechts KachelX + 1 107646 KachelY 42499 2.01862284 0.93071344 115.658569 53.325952
    Unten links KachelX 107645 KachelY + 1 42500 2.01857491 0.93068481 115.655823 53.324312
    Unten rechts KachelX + 1 107646 KachelY + 1 42500 2.01862284 0.93068481 115.658569 53.324312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93071344-0.93068481) × R
    2.8629999999974e-05 × 6371000     		dl = 182.401729999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93071344-0.93068481) × R
    2.8629999999974e-05 × 6371000     		dr = 182.401729999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01857491-2.01862284) × cos(0.93071344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.597261922457455 × 6371000     		do = 182.381113083423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01857491-2.01862284) × cos(0.93068481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.597284884796966 × 6371000     		du = 182.388124910029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93071344)-sin(0.93068481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597261922457455-0.597284884796966)×R²
    abs(2.01862284-2.01857491)×2.29623395112677e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29623395112677e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29623395112677e-05×40589641000000     		ar = 33267.2700327542m²