Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107645 / 100182
↖ ↑ ↗
← S 68.485970°
E115.655823°		 ← 111.99 m → S 68.485970°
E115.658569°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 68.486977°
E115.655823°		 ← 111.98 m →
12 542 m²		 S 68.486977°
E115.658569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821269989013672 y=0.764331817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821269989013672 × 217)
    floor (0.821269989013672 × 131072)
    floor (107645.5)     		tx = 107645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764331817626953 × 217)
    floor (0.764331817626953 × 131072)
    floor (100182.5)     		ty = 100182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107645 / 100182 ti = "17/107645/100182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107645/100182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107645 ÷ 217
    107645 ÷ 131072     		x = 0.821266174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100182 ÷ 217
    100182 ÷ 131072     		y = 0.764328002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821266174316406 × 2 - 1) × π
    0.642532348632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.01857491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764328002929688 × 2 - 1) × π
    -0.528656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66082182423647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01857491} λ = 2.01857491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66082182423647))-π/2
    2×atan(0.189982783471256)-π/2
    2×0.18774532979407-π/2
    0.37549065958814-1.57079632675     		φ = -1.19530567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01857491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.655823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19530567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.485970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107645 KachelY 100182 2.01857491 -1.19530567 115.655823 -68.485970
    Oben rechts KachelX + 1 107646 KachelY 100182 2.01862284 -1.19530567 115.658569 -68.485970
    Unten links KachelX 107645 KachelY + 1 100183 2.01857491 -1.19532325 115.655823 -68.486977
    Unten rechts KachelX + 1 107646 KachelY + 1 100183 2.01862284 -1.19532325 115.658569 -68.486977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19530567--1.19532325) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19530567--1.19532325) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01857491-2.01862284) × cos(-1.19530567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36672904486615 × 6371000     		do = 111.985125600357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01857491-2.01862284) × cos(-1.19532325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366712689646831 × 6371000     		du = 111.980131337385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19530567)-sin(-1.19532325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36672904486615-0.366712689646831)×R²
    abs(2.01862284-2.01857491)×1.63552193193639e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63552193193639e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63552193193639e-05×40589641000000     		ar = 12542.2985110397m²