Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107640 / 42583
↖ ↑ ↗
← N 53.187933°
E115.642090°		 ← 183.01 m → N 53.187933°
E115.644837°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 53.186288°
E115.642090°		 ← 183.02 m →
33 487 m²		 N 53.186288°
E115.644837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821231842041016 y=0.324886322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821231842041016 × 217)
    floor (0.821231842041016 × 131072)
    floor (107640.5)     		tx = 107640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324886322021484 × 217)
    floor (0.324886322021484 × 131072)
    floor (42583.5)     		ty = 42583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107640 / 42583 ti = "17/107640/42583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107640/42583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107640 ÷ 217
    107640 ÷ 131072     		x = 0.82122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42583 ÷ 217
    42583 ÷ 131072     		y = 0.324882507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82122802734375 × 2 - 1) × π
    0.6424560546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01833522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324882507324219 × 2 - 1) × π
    0.350234985351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.10029565697915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01833522} λ = 2.01833522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10029565697915))-π/2
    2×atan(3.00505435791253)-π/2
    2×1.24955044291098-π/2
    2.49910088582196-1.57079632675     		φ = 0.92830456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01833522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.642090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92830456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.187933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107640 KachelY 42583 2.01833522 0.92830456 115.642090 53.187933
    Oben rechts KachelX + 1 107641 KachelY 42583 2.01838316 0.92830456 115.644837 53.187933
    Unten links KachelX 107640 KachelY + 1 42584 2.01833522 0.92827584 115.642090 53.186288
    Unten rechts KachelX + 1 107641 KachelY + 1 42584 2.01838316 0.92827584 115.644837 53.186288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92830456-0.92827584) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92830456-0.92827584) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01833522-2.01838316) × cos(0.92830456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59919222090704 × 6371000     		do = 183.008727472656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01833522-2.01838316) × cos(0.92827584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599215214041193 × 6371000     		du = 183.01575016767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92830456)-sin(0.92827584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59919222090704-0.599215214041193)×R²
    abs(2.01838316-2.01833522)×2.29931341531042e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29931341531042e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29931341531042e-05×40589641000000     		ar = 33486.6863619721m²