Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107638 / 41801
↖ ↑ ↗
← N 54.455670°
E115.636597°		 ← 177.52 m → N 54.455670°
E115.639343°		 →
↑
177.56 m
↓
↑
177.56 m
↓
N 54.454073°
E115.636597°		 ← 177.52 m →
31 520 m²		 N 54.454073°
E115.639343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821216583251953 y=0.318920135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821216583251953 × 217)
    floor (0.821216583251953 × 131072)
    floor (107638.5)     		tx = 107638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318920135498047 × 217)
    floor (0.318920135498047 × 131072)
    floor (41801.5)     		ty = 41801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107638 / 41801 ti = "17/107638/41801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107638/41801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107638 ÷ 217
    107638 ÷ 131072     		x = 0.821212768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41801 ÷ 217
    41801 ÷ 131072     		y = 0.318916320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821212768554688 × 2 - 1) × π
    0.642425537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01823935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318916320800781 × 2 - 1) × π
    0.362167358398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.13778231248203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01823935} λ = 2.01823935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13778231248203))-π/2
    2×atan(3.11984185326941)-π/2
    2×1.26061353262635-π/2
    2.5212270652527-1.57079632675     		φ = 0.95043074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01823935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.636597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95043074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.455670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107638 KachelY 41801 2.01823935 0.95043074 115.636597 54.455670
    Oben rechts KachelX + 1 107639 KachelY 41801 2.01828728 0.95043074 115.639343 54.455670
    Unten links KachelX 107638 KachelY + 1 41802 2.01823935 0.95040287 115.636597 54.454073
    Unten rechts KachelX + 1 107639 KachelY + 1 41802 2.01828728 0.95040287 115.639343 54.454073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95043074-0.95040287) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dl = 177.559770000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95043074-0.95040287) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dr = 177.559770000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01823935-2.01828728) × cos(0.95043074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581332664918333 × 6371000     		do = 177.516922664881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01823935-2.01828728) × cos(0.95040287) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581355341563519 × 6371000     		du = 177.523847251288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95043074)-sin(0.95040287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581332664918333-0.581355341563519)×R²
    abs(2.01828728-2.01823935)×2.26766451858484e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26766451858484e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26766451858484e-05×40589641000000     		ar = 31520.478725573m²