Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107636 / 41779
↖ ↑ ↗
← N 54.490782°
E115.631103°		 ← 177.40 m → N 54.490782°
E115.633850°		 →
↑
177.43 m
↓
↑
177.43 m
↓
N 54.489186°
E115.631103°		 ← 177.41 m →
31 477 m²		 N 54.489186°
E115.633850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821201324462891 y=0.318752288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821201324462891 × 217)
    floor (0.821201324462891 × 131072)
    floor (107636.5)     		tx = 107636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318752288818359 × 217)
    floor (0.318752288818359 × 131072)
    floor (41779.5)     		ty = 41779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107636 / 41779 ti = "17/107636/41779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107636/41779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107636 ÷ 217
    107636 ÷ 131072     		x = 0.821197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41779 ÷ 217
    41779 ÷ 131072     		y = 0.318748474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821197509765625 × 2 - 1) × π
    0.64239501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01814347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318748474121094 × 2 - 1) × π
    0.362503051757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.13883692427367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01814347} λ = 2.01814347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13883692427367))-π/2
    2×atan(3.12313381083945)-π/2
    2×1.26091994126577-π/2
    2.52183988253154-1.57079632675     		φ = 0.95104356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01814347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.631103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95104356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.490782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107636 KachelY 41779 2.01814347 0.95104356 115.631103 54.490782
    Oben rechts KachelX + 1 107637 KachelY 41779 2.01819141 0.95104356 115.633850 54.490782
    Unten links KachelX 107636 KachelY + 1 41780 2.01814347 0.95101571 115.631103 54.489186
    Unten rechts KachelX + 1 107637 KachelY + 1 41780 2.01819141 0.95101571 115.633850 54.489186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95104356-0.95101571) × R
    2.78500000000514e-05 × 6371000     		dl = 177.432350000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95104356-0.95101571) × R
    2.78500000000514e-05 × 6371000     		dr = 177.432350000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01814347-2.01819141) × cos(0.95104356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580833925002278 × 6371000     		do = 177.401631360809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01814347-2.01819141) × cos(0.95101571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580856595292032 × 6371000     		du = 177.408555450833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95104356)-sin(0.95101571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580833925002278-0.580856595292032)×R²
    abs(2.01819141-2.01814347)×2.267028975389e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.267028975389e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.267028975389e-05×40589641000000     		ar = 31477.4026271816m²