Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107635 / 42594
↖ ↑ ↗
← N 53.169826°
E115.628357°		 ← 183.05 m → N 53.169826°
E115.631103°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
N 53.168180°
E115.628357°		 ← 183.05 m →
33 505 m²		 N 53.168180°
E115.631103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821193695068359 y=0.324970245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821193695068359 × 217)
    floor (0.821193695068359 × 131072)
    floor (107635.5)     		tx = 107635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324970245361328 × 217)
    floor (0.324970245361328 × 131072)
    floor (42594.5)     		ty = 42594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107635 / 42594 ti = "17/107635/42594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107635/42594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107635 ÷ 217
    107635 ÷ 131072     		x = 0.821189880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42594 ÷ 217
    42594 ÷ 131072     		y = 0.324966430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821189880371094 × 2 - 1) × π
    0.642379760742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.01809554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324966430664062 × 2 - 1) × π
    0.350067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09976835108333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01809554} λ = 2.01809554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09976835108333))-π/2
    2×atan(3.00347019273887)-π/2
    2×1.24939243076683-π/2
    2.49878486153367-1.57079632675     		φ = 0.92798853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01809554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.628357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92798853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.169826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107635 KachelY 42594 2.01809554 0.92798853 115.628357 53.169826
    Oben rechts KachelX + 1 107636 KachelY 42594 2.01814347 0.92798853 115.631103 53.169826
    Unten links KachelX 107635 KachelY + 1 42595 2.01809554 0.92795980 115.628357 53.168180
    Unten rechts KachelX + 1 107636 KachelY + 1 42595 2.01814347 0.92795980 115.631103 53.168180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92798853-0.92795980) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dl = 183.038830000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92798853-0.92795980) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dr = 183.038830000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01809554-2.01814347) × cos(0.92798853) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.599445206241272 × 6371000     		do = 183.047805051716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01809554-2.01814347) × cos(0.92795980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.599468201939662 × 6371000     		du = 183.054827064857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92798853)-sin(0.92795980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599445206241272-0.599468201939662)×R²
    abs(2.01814347-2.01809554)×2.2995698389261e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2995698389261e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2995698389261e-05×40589641000000     		ar = 33505.4987235344m²