Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107635 / 41781
↖ ↑ ↗
← N 54.487591°
E115.628357°		 ← 177.38 m → N 54.487591°
E115.631103°		 →
↑
177.43 m
↓
↑
177.43 m
↓
N 54.485996°
E115.628357°		 ← 177.39 m →
31 473 m²		 N 54.485996°
E115.631103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821193695068359 y=0.318767547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821193695068359 × 217)
    floor (0.821193695068359 × 131072)
    floor (107635.5)     		tx = 107635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318767547607422 × 217)
    floor (0.318767547607422 × 131072)
    floor (41781.5)     		ty = 41781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107635 / 41781 ti = "17/107635/41781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107635/41781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107635 ÷ 217
    107635 ÷ 131072     		x = 0.821189880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41781 ÷ 217
    41781 ÷ 131072     		y = 0.318763732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821189880371094 × 2 - 1) × π
    0.642379760742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.01809554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318763732910156 × 2 - 1) × π
    0.362472534179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.13874105047443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01809554} λ = 2.01809554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13874105047443))-π/2
    2×atan(3.1228343984886)-π/2
    2×1.26089209680154-π/2
    2.52178419360307-1.57079632675     		φ = 0.95098787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01809554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.628357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95098787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.487591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107635 KachelY 41781 2.01809554 0.95098787 115.628357 54.487591
    Oben rechts KachelX + 1 107636 KachelY 41781 2.01814347 0.95098787 115.631103 54.487591
    Unten links KachelX 107635 KachelY + 1 41782 2.01809554 0.95096002 115.628357 54.485996
    Unten rechts KachelX + 1 107636 KachelY + 1 41782 2.01814347 0.95096002 115.631103 54.485996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95098787-0.95096002) × R
    2.78499999999404e-05 × 6371000     		dl = 177.43234999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95098787-0.95096002) × R
    2.78499999999404e-05 × 6371000     		dr = 177.43234999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01809554-2.01814347) × cos(0.95098787) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580879256991363 × 6371000     		do = 177.378469099883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01809554-2.01814347) × cos(0.95096002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580901926380211 × 6371000     		du = 177.38539147048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95098787)-sin(0.95096002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580879256991363-0.580901926380211)×R²
    abs(2.01814347-2.01809554)×2.26693888472074e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26693888472074e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26693888472074e-05×40589641000000     		ar = 31473.2927400157m²