Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107634 / 42587
↖ ↑ ↗
← N 53.181350°
E115.625610°		 ← 183.04 m → N 53.181350°
E115.628357°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
N 53.179704°
E115.625610°		 ← 183.04 m →
33 503 m²		 N 53.179704°
E115.628357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821186065673828 y=0.324916839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821186065673828 × 217)
    floor (0.821186065673828 × 131072)
    floor (107634.5)     		tx = 107634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324916839599609 × 217)
    floor (0.324916839599609 × 131072)
    floor (42587.5)     		ty = 42587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107634 / 42587 ti = "17/107634/42587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107634/42587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107634 ÷ 217
    107634 ÷ 131072     		x = 0.821182250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42587 ÷ 217
    42587 ÷ 131072     		y = 0.324913024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821182250976562 × 2 - 1) × π
    0.642364501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01804760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324913024902344 × 2 - 1) × π
    0.350173950195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.10010390938067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01804760} λ = 2.01804760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10010390938067))-π/2
    2×atan(3.0044782011962)-π/2
    2×1.24949299166666-π/2
    2.49898598333332-1.57079632675     		φ = 0.92818966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01804760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.625610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92818966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.181350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107634 KachelY 42587 2.01804760 0.92818966 115.625610 53.181350
    Oben rechts KachelX + 1 107635 KachelY 42587 2.01809554 0.92818966 115.628357 53.181350
    Unten links KachelX 107634 KachelY + 1 42588 2.01804760 0.92816093 115.625610 53.179704
    Unten rechts KachelX + 1 107635 KachelY + 1 42588 2.01809554 0.92816093 115.628357 53.179704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92818966-0.92816093) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dl = 183.038830000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92818966-0.92816093) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dr = 183.038830000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01804760-2.01809554) × cos(0.92818966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59928420648877 × 6371000     		do = 183.036822237025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01804760-2.01809554) × cos(0.92816093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599307205650633 × 6371000     		du = 183.043846773057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92818966)-sin(0.92816093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59928420648877-0.599307205650633)×R²
    abs(2.01809554-2.01804760)×2.29991618635461e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29991618635461e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29991618635461e-05×40589641000000     		ar = 33503.488672918m²