Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107633 / 42611
↖ ↑ ↗
← N 53.141828°
E115.622864°		 ← 183.21 m → N 53.141828°
E115.625610°		 →
↑
183.17 m
↓
↑
183.17 m
↓
N 53.140181°
E115.622864°		 ← 183.21 m →
33 558 m²		 N 53.140181°
E115.625610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821178436279297 y=0.325099945068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821178436279297 × 217)
    floor (0.821178436279297 × 131072)
    floor (107633.5)     		tx = 107633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325099945068359 × 217)
    floor (0.325099945068359 × 131072)
    floor (42611.5)     		ty = 42611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107633 / 42611 ti = "17/107633/42611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107633/42611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107633 ÷ 217
    107633 ÷ 131072     		x = 0.821174621582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42611 ÷ 217
    42611 ÷ 131072     		y = 0.325096130371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821174621582031 × 2 - 1) × π
    0.642349243164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.01799966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325096130371094 × 2 - 1) × π
    0.349807739257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.09895342378979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01799966} λ = 2.01799966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09895342378979))-π/2
    2×atan(3.00102357994464)-π/2
    2×1.24914809897053-π/2
    2.49829619794107-1.57079632675     		φ = 0.92749987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01799966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.622864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92749987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.141828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107633 KachelY 42611 2.01799966 0.92749987 115.622864 53.141828
    Oben rechts KachelX + 1 107634 KachelY 42611 2.01804760 0.92749987 115.625610 53.141828
    Unten links KachelX 107633 KachelY + 1 42612 2.01799966 0.92747112 115.622864 53.140181
    Unten rechts KachelX + 1 107634 KachelY + 1 42612 2.01804760 0.92747112 115.625610 53.140181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92749987-0.92747112) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dl = 183.166250000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92749987-0.92747112) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dr = 183.166250000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01799966-2.01804760) × cos(0.92749987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599836265837701 × 6371000     		do = 183.205435372196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01799966-2.01804760) × cos(0.92747112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599859269119562 × 6371000     		du = 183.212461166581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92749987)-sin(0.92747112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599836265837701-0.599859269119562)×R²
    abs(2.01804760-2.01799966)×2.30032818610004e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30032818610004e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30032818610004e-05×40589641000000     		ar = 33557.6960232146m²