Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107632 / 41804
↖ ↑ ↗
← N 54.450880°
E115.620117°		 ← 177.54 m → N 54.450880°
E115.622864°		 →
↑
177.56 m
↓
↑
177.56 m
↓
N 54.449283°
E115.620117°		 ← 177.54 m →
31 524 m²		 N 54.449283°
E115.622864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821170806884766 y=0.318943023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821170806884766 × 217)
    floor (0.821170806884766 × 131072)
    floor (107632.5)     		tx = 107632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318943023681641 × 217)
    floor (0.318943023681641 × 131072)
    floor (41804.5)     		ty = 41804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107632 / 41804 ti = "17/107632/41804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107632/41804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107632 ÷ 217
    107632 ÷ 131072     		x = 0.8211669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41804 ÷ 217
    41804 ÷ 131072     		y = 0.318939208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8211669921875 × 2 - 1) × π
    0.642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01795173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318939208984375 × 2 - 1) × π
    0.36212158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13763850178317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01795173} λ = 2.01795173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13763850178317))-π/2
    2×atan(3.11939321889215)-π/2
    2×1.26057172925216-π/2
    2.52114345850433-1.57079632675     		φ = 0.95034713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01795173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95034713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.450880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107632 KachelY 41804 2.01795173 0.95034713 115.620117 54.450880
    Oben rechts KachelX + 1 107633 KachelY 41804 2.01799966 0.95034713 115.622864 54.450880
    Unten links KachelX 107632 KachelY + 1 41805 2.01795173 0.95031926 115.620117 54.449283
    Unten rechts KachelX + 1 107633 KachelY + 1 41805 2.01799966 0.95031926 115.622864 54.449283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95034713-0.95031926) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dl = 177.559770000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95034713-0.95031926) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dr = 177.559770000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01795173-2.01799966) × cos(0.95034713) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581400693499193 × 6371000     		do = 177.53769601043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01795173-2.01799966) × cos(0.95031926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581423368789645 × 6371000     		du = 177.544620183153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95034713)-sin(0.95031926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581400693499193-0.581423368789645)×R²
    abs(2.01799966-2.01795173)×2.26752904526339e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26752904526339e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26752904526339e-05×40589641000000     		ar = 31524.1671994398m²