Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107630 / 43661
↖ ↑ ↗
← N 51.376924°
E115.614624°		 ← 190.65 m → N 51.376924°
E115.617371°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
N 51.375210°
E115.614624°		 ← 190.65 m →
36 341 m²		 N 51.375210°
E115.617371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821155548095703 y=0.333110809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821155548095703 × 217)
    floor (0.821155548095703 × 131072)
    floor (107630.5)     		tx = 107630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333110809326172 × 217)
    floor (0.333110809326172 × 131072)
    floor (43661.5)     		ty = 43661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107630 / 43661 ti = "17/107630/43661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107630/43661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107630 ÷ 217
    107630 ÷ 131072     		x = 0.821151733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43661 ÷ 217
    43661 ÷ 131072     		y = 0.333106994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821151733398438 × 2 - 1) × π
    0.642303466796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01785585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333106994628906 × 2 - 1) × π
    0.333786010742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.04861967918873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01785585} λ = 2.01785585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04861967918873))-π/2
    2×atan(2.8537093638221)-π/2
    2×1.23374640390488-π/2
    2.46749280780975-1.57079632675     		φ = 0.89669648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01785585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.614624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89669648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.376924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107630 KachelY 43661 2.01785585 0.89669648 115.614624 51.376924
    Oben rechts KachelX + 1 107631 KachelY 43661 2.01790379 0.89669648 115.617371 51.376924
    Unten links KachelX 107630 KachelY + 1 43662 2.01785585 0.89666656 115.614624 51.375210
    Unten rechts KachelX + 1 107631 KachelY + 1 43662 2.01790379 0.89666656 115.617371 51.375210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89669648-0.89666656) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89669648-0.89666656) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01785585-2.01790379) × cos(0.89669648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624194307788729 × 6371000     		do = 190.645008360035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01785585-2.01790379) × cos(0.89666656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624217683081945 × 6371000     		du = 190.652147776264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89669648)-sin(0.89666656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624194307788729-0.624217683081945)×R²
    abs(2.01790379-2.01785585)×2.33752932167208e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33752932167208e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33752932167208e-05×40589641000000     		ar = 36341.4929615853m²