Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107630 / 41807
↖ ↑ ↗
← N 54.446089°
E115.614624°		 ← 177.60 m → N 54.446089°
E115.617371°		 →
↑
177.62 m
↓
↑
177.62 m
↓
N 54.444492°
E115.614624°		 ← 177.60 m →
31 546 m²		 N 54.444492°
E115.617371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821155548095703 y=0.318965911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821155548095703 × 217)
    floor (0.821155548095703 × 131072)
    floor (107630.5)     		tx = 107630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318965911865234 × 217)
    floor (0.318965911865234 × 131072)
    floor (41807.5)     		ty = 41807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107630 / 41807 ti = "17/107630/41807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107630/41807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107630 ÷ 217
    107630 ÷ 131072     		x = 0.821151733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41807 ÷ 217
    41807 ÷ 131072     		y = 0.318962097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821151733398438 × 2 - 1) × π
    0.642303466796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01785585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318962097167969 × 2 - 1) × π
    0.362075805664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.13749469108431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01785585} λ = 2.01785585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13749469108431))-π/2
    2×atan(3.11894464902866)-π/2
    2×1.26052992098641-π/2
    2.52105984197281-1.57079632675     		φ = 0.95026352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01785585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.614624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95026352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.446089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107630 KachelY 41807 2.01785585 0.95026352 115.614624 54.446089
    Oben rechts KachelX + 1 107631 KachelY 41807 2.01790379 0.95026352 115.617371 54.446089
    Unten links KachelX 107630 KachelY + 1 41808 2.01785585 0.95023564 115.614624 54.444492
    Unten rechts KachelX + 1 107631 KachelY + 1 41808 2.01790379 0.95023564 115.617371 54.444492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95026352-0.95023564) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dl = 177.623479999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95026352-0.95023564) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dr = 177.623479999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01785585-2.01790379) × cos(0.95026352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581468718015694 × 6371000     		do = 177.595513486678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01785585-2.01790379) × cos(0.95023564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58149140008678 × 6371000     		du = 177.602441175024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95026352)-sin(0.95023564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581468718015694-0.58149140008678)×R²
    abs(2.01790379-2.01785585)×2.26820710863551e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26820710863551e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26820710863551e-05×40589641000000     		ar = 31545.7484000249m²