Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107627 / 42535
↖ ↑ ↗
← N 53.266855°
E115.606384°		 ← 182.67 m → N 53.266855°
E115.609131°		 →
↑
182.66 m
↓
↑
182.66 m
↓
N 53.265213°
E115.606384°		 ← 182.68 m →
33 367 m²		 N 53.265213°
E115.609131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821132659912109 y=0.324520111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821132659912109 × 217)
    floor (0.821132659912109 × 131072)
    floor (107627.5)     		tx = 107627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324520111083984 × 217)
    floor (0.324520111083984 × 131072)
    floor (42535.5)     		ty = 42535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107627 / 42535 ti = "17/107627/42535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107627/42535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107627 ÷ 217
    107627 ÷ 131072     		x = 0.821128845214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42535 ÷ 217
    42535 ÷ 131072     		y = 0.324516296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821128845214844 × 2 - 1) × π
    0.642257690429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.01771204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324516296386719 × 2 - 1) × π
    0.350967407226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.10259662816091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01771204} λ = 2.01771204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10259662816091))-π/2
    2×atan(3.01197686257734)-π/2
    2×1.25023917013918-π/2
    2.50047834027837-1.57079632675     		φ = 0.92968201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01771204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.606384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92968201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.266855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107627 KachelY 42535 2.01771204 0.92968201 115.606384 53.266855
    Oben rechts KachelX + 1 107628 KachelY 42535 2.01775998 0.92968201 115.609131 53.266855
    Unten links KachelX 107627 KachelY + 1 42536 2.01771204 0.92965334 115.606384 53.265213
    Unten rechts KachelX + 1 107628 KachelY + 1 42536 2.01775998 0.92965334 115.609131 53.265213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92968201-0.92965334) × R
    2.86699999999529e-05 × 6371000     		dl = 182.6565699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92968201-0.92965334) × R
    2.86699999999529e-05 × 6371000     		dr = 182.6565699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01771204-2.01775998) × cos(0.92968201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598088859182224 × 6371000     		do = 182.671732401367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01771204-2.01775998) × cos(0.92965334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598111835928641 × 6371000     		du = 182.678750091144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92968201)-sin(0.92965334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598088859182224-0.598111835928641)×R²
    abs(2.01775998-2.01771204)×2.29767464179353e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29767464179353e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29767464179353e-05×40589641000000     		ar = 33366.8329922285m²