Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107626 / 42534
↖ ↑ ↗
← N 53.268498°
E115.603638°		 ← 182.63 m → N 53.268498°
E115.606384°		 →
↑
182.66 m
↓
↑
182.66 m
↓
N 53.266855°
E115.603638°		 ← 182.63 m →
33 359 m²		 N 53.266855°
E115.606384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821125030517578 y=0.324512481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821125030517578 × 217)
    floor (0.821125030517578 × 131072)
    floor (107626.5)     		tx = 107626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324512481689453 × 217)
    floor (0.324512481689453 × 131072)
    floor (42534.5)     		ty = 42534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107626 / 42534 ti = "17/107626/42534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107626/42534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107626 ÷ 217
    107626 ÷ 131072     		x = 0.821121215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42534 ÷ 217
    42534 ÷ 131072     		y = 0.324508666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821121215820312 × 2 - 1) × π
    0.642242431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01766411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324508666992188 × 2 - 1) × π
    0.350982666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10264456506053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01766411} λ = 2.01766411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10264456506053))-π/2
    2×atan(3.0121212508706)-π/2
    2×1.25025350512656-π/2
    2.50050701025311-1.57079632675     		φ = 0.92971068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01766411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.603638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92971068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.268498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107626 KachelY 42534 2.01766411 0.92971068 115.603638 53.268498
    Oben rechts KachelX + 1 107627 KachelY 42534 2.01771204 0.92971068 115.606384 53.268498
    Unten links KachelX 107626 KachelY + 1 42535 2.01766411 0.92968201 115.603638 53.266855
    Unten rechts KachelX + 1 107627 KachelY + 1 42535 2.01771204 0.92968201 115.606384 53.266855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92971068-0.92968201) × R
    2.86700000000639e-05 × 6371000     		dl = 182.656570000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92971068-0.92968201) × R
    2.86700000000639e-05 × 6371000     		dr = 182.656570000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01766411-2.01771204) × cos(0.92971068) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598065881944195 × 6371000     		do = 182.626611784332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01766411-2.01771204) × cos(0.92968201) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598088859182224 × 6371000     		du = 182.63362816038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92971068)-sin(0.92968201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598065881944195-0.598088859182224)×R²
    abs(2.01771204-2.01766411)×2.29772380285764e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29772380285764e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29772380285764e-05×40589641000000     		ar = 33358.5912950635m²