Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107625 / 42565
↖ ↑ ↗
← N 53.217546°
E115.600891°		 ← 182.88 m → N 53.217546°
E115.603638°		 →
↑
182.85 m
↓
↑
182.85 m
↓
N 53.215902°
E115.600891°		 ← 182.89 m →
33 440 m²		 N 53.215902°
E115.603638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821117401123047 y=0.324748992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821117401123047 × 217)
    floor (0.821117401123047 × 131072)
    floor (107625.5)     		tx = 107625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324748992919922 × 217)
    floor (0.324748992919922 × 131072)
    floor (42565.5)     		ty = 42565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107625 / 42565 ti = "17/107625/42565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107625/42565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107625 ÷ 217
    107625 ÷ 131072     		x = 0.821113586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42565 ÷ 217
    42565 ÷ 131072     		y = 0.324745178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821113586425781 × 2 - 1) × π
    0.642227172851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.01761617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324745178222656 × 2 - 1) × π
    0.350509643554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.10115852117231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01761617} λ = 2.01761617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10115852117231))-π/2
    2×atan(3.0076484307218)-π/2
    2×1.24980886438512-π/2
    2.49961772877023-1.57079632675     		φ = 0.92882140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01761617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.600891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92882140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.217546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107625 KachelY 42565 2.01761617 0.92882140 115.600891 53.217546
    Oben rechts KachelX + 1 107626 KachelY 42565 2.01766411 0.92882140 115.603638 53.217546
    Unten links KachelX 107625 KachelY + 1 42566 2.01761617 0.92879270 115.600891 53.215902
    Unten rechts KachelX + 1 107626 KachelY + 1 42566 2.01766411 0.92879270 115.603638 53.215902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92882140-0.92879270) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dl = 182.847699999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92882140-0.92879270) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dr = 182.847699999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01761617-2.01766411) × cos(0.92882140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598778356105955 × 6371000     		do = 182.882322509525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01761617-2.01766411) × cos(0.92879270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598801342113452 × 6371000     		du = 182.889343027874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92882140)-sin(0.92879270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598778356105955-0.598801342113452)×R²
    abs(2.01766411-2.01761617)×2.29860074971722e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29860074971722e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29860074971722e-05×40589641000000     		ar = 33440.253886722m²