Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107623 / 41814
↖ ↑ ↗
← N 54.434908°
E115.595398°		 ← 177.64 m → N 54.434908°
E115.598144°		 →
↑
177.62 m
↓
↑
177.62 m
↓
N 54.433310°
E115.595398°		 ← 177.65 m →
31 554 m²		 N 54.433310°
E115.598144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821102142333984 y=0.319019317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821102142333984 × 217)
    floor (0.821102142333984 × 131072)
    floor (107623.5)     		tx = 107623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319019317626953 × 217)
    floor (0.319019317626953 × 131072)
    floor (41814.5)     		ty = 41814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107623 / 41814 ti = "17/107623/41814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107623/41814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107623 ÷ 217
    107623 ÷ 131072     		x = 0.821098327636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41814 ÷ 217
    41814 ÷ 131072     		y = 0.319015502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821098327636719 × 2 - 1) × π
    0.642196655273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.01752029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319015502929688 × 2 - 1) × π
    0.361968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13715913278697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01752029} λ = 2.01752029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13715913278697))-π/2
    2×atan(3.1178982368487)-π/2
    2×1.26043234934197-π/2
    2.52086469868394-1.57079632675     		φ = 0.95006837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01752029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.595398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95006837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.434908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107623 KachelY 41814 2.01752029 0.95006837 115.595398 54.434908
    Oben rechts KachelX + 1 107624 KachelY 41814 2.01756823 0.95006837 115.598144 54.434908
    Unten links KachelX 107623 KachelY + 1 41815 2.01752029 0.95004049 115.595398 54.433310
    Unten rechts KachelX + 1 107624 KachelY + 1 41815 2.01756823 0.95004049 115.598144 54.433310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95006837-0.95004049) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dl = 177.623479999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95006837-0.95004049) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dr = 177.623479999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01752029-2.01756823) × cos(0.95006837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581627474886338 × 6371000     		do = 177.644001921375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01752029-2.01756823) × cos(0.95004049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581650153793286 × 6371000     		du = 177.650928643312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95006837)-sin(0.95004049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581627474886338-0.581650153793286)×R²
    abs(2.01756823-2.01752029)×2.26789069480704e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26789069480704e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26789069480704e-05×40589641000000     		ar = 31554.3609985747m²