Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107622 / 43671
↖ ↑ ↗
← N 51.359777°
E115.592652°		 ← 190.68 m → N 51.359777°
E115.595398°		 →
↑
190.75 m
↓
↑
190.75 m
↓
N 51.358061°
E115.592652°		 ← 190.68 m →
36 372 m²		 N 51.358061°
E115.595398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821094512939453 y=0.333187103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821094512939453 × 217)
    floor (0.821094512939453 × 131072)
    floor (107622.5)     		tx = 107622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333187103271484 × 217)
    floor (0.333187103271484 × 131072)
    floor (43671.5)     		ty = 43671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107622 / 43671 ti = "17/107622/43671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107622/43671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107622 ÷ 217
    107622 ÷ 131072     		x = 0.821090698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43671 ÷ 217
    43671 ÷ 131072     		y = 0.333183288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821090698242188 × 2 - 1) × π
    0.642181396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01747236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333183288574219 × 2 - 1) × π
    0.333633422851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.04814031019253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01747236} λ = 2.01747236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04814031019253))-π/2
    2×atan(2.85234171186008)-π/2
    2×1.23359676618879-π/2
    2.46719353237759-1.57079632675     		φ = 0.89639721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01747236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.592652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89639721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.359777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107622 KachelY 43671 2.01747236 0.89639721 115.592652 51.359777
    Oben rechts KachelX + 1 107623 KachelY 43671 2.01752029 0.89639721 115.595398 51.359777
    Unten links KachelX 107622 KachelY + 1 43672 2.01747236 0.89636727 115.592652 51.358061
    Unten rechts KachelX + 1 107623 KachelY + 1 43672 2.01752029 0.89636727 115.595398 51.358061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89639721-0.89636727) × R
    2.99400000000061e-05 × 6371000     		dl = 190.747740000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89639721-0.89636727) × R
    2.99400000000061e-05 × 6371000     		dr = 190.747740000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01747236-2.01752029) × cos(0.89639721) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.624428090247982 × 6371000     		do = 190.676629227264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01747236-2.01752029) × cos(0.89636727) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.624451475572185 × 6371000     		du = 190.683770217334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89639721)-sin(0.89636727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624428090247982-0.624451475572185)×R²
    abs(2.01752029-2.01747236)×2.33853242028736e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33853242028736e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33853242028736e-05×40589641000000     		ar = 36371.8171626035m²