Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107617 / 42511
↖ ↑ ↗
← N 53.306262°
E115.578918°		 ← 182.50 m → N 53.306262°
E115.581665°		 →
↑
182.53 m
↓
↑
182.53 m
↓
N 53.304621°
E115.578918°		 ← 182.51 m →
33 313 m²		 N 53.304621°
E115.581665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821056365966797 y=0.324337005615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821056365966797 × 217)
    floor (0.821056365966797 × 131072)
    floor (107617.5)     		tx = 107617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324337005615234 × 217)
    floor (0.324337005615234 × 131072)
    floor (42511.5)     		ty = 42511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107617 / 42511 ti = "17/107617/42511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107617/42511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107617 ÷ 217
    107617 ÷ 131072     		x = 0.821052551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42511 ÷ 217
    42511 ÷ 131072     		y = 0.324333190917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821052551269531 × 2 - 1) × π
    0.642105102539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.01723267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324333190917969 × 2 - 1) × π
    0.351333618164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.10374711375179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01723267} λ = 2.01723267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10374711375179))-π/2
    2×atan(3.0154440926745)-π/2
    2×1.25058305785538-π/2
    2.50116611571075-1.57079632675     		φ = 0.93036979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01723267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.578918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93036979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.306262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107617 KachelY 42511 2.01723267 0.93036979 115.578918 53.306262
    Oben rechts KachelX + 1 107618 KachelY 42511 2.01728061 0.93036979 115.581665 53.306262
    Unten links KachelX 107617 KachelY + 1 42512 2.01723267 0.93034114 115.578918 53.304621
    Unten rechts KachelX + 1 107618 KachelY + 1 42512 2.01728061 0.93034114 115.581665 53.304621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93036979-0.93034114) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dl = 182.529149999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93036979-0.93034114) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dr = 182.529149999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01723267-2.01728061) × cos(0.93036979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597537510380818 × 6371000     		do = 182.503336285699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01723267-2.01728061) × cos(0.93034114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597560482879056 × 6371000     		du = 182.510352677973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93036979)-sin(0.93034114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597537510380818-0.597560482879056)×R²
    abs(2.01728061-2.01723267)×2.29724982389046e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29724982389046e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29724982389046e-05×40589641000000     		ar = 33312.819194529m²