Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107617 / 41889
↖ ↑ ↗
← N 54.314921°
E115.578918°		 ← 178.16 m → N 54.314921°
E115.581665°		 →
↑
178.20 m
↓
↑
178.20 m
↓
N 54.313319°
E115.578918°		 ← 178.17 m →
31 749 m²		 N 54.313319°
E115.581665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821056365966797 y=0.319591522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821056365966797 × 217)
    floor (0.821056365966797 × 131072)
    floor (107617.5)     		tx = 107617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319591522216797 × 217)
    floor (0.319591522216797 × 131072)
    floor (41889.5)     		ty = 41889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107617 / 41889 ti = "17/107617/41889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107617/41889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107617 ÷ 217
    107617 ÷ 131072     		x = 0.821052551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41889 ÷ 217
    41889 ÷ 131072     		y = 0.319587707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821052551269531 × 2 - 1) × π
    0.642105102539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.01723267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319587707519531 × 2 - 1) × π
    0.360824584960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.13356386531547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01723267} λ = 2.01723267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13356386531547))-π/2
    2×atan(3.10670868550624)-π/2
    2×1.25938526654065-π/2
    2.5187705330813-1.57079632675     		φ = 0.94797421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01723267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.578918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94797421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.314921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107617 KachelY 41889 2.01723267 0.94797421 115.578918 54.314921
    Oben rechts KachelX + 1 107618 KachelY 41889 2.01728061 0.94797421 115.581665 54.314921
    Unten links KachelX 107617 KachelY + 1 41890 2.01723267 0.94794624 115.578918 54.313319
    Unten rechts KachelX + 1 107618 KachelY + 1 41890 2.01728061 0.94794624 115.581665 54.313319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94797421-0.94794624) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dl = 178.196869999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94797421-0.94794624) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dr = 178.196869999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01723267-2.01728061) × cos(0.94797421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583329703769847 × 6371000     		do = 178.16390643777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01723267-2.01728061) × cos(0.94794624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58335242176773 × 6371000     		du = 178.170845099084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94797421)-sin(0.94794624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583329703769847-0.58335242176773)×R²
    abs(2.01728061-2.01723267)×2.27179978825598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27179978825598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27179978825598e-05×40589641000000     		ar = 31748.868700059m²