Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107615 / 41892
↖ ↑ ↗
← N 54.310114°
E115.573425°		 ← 178.18 m → N 54.310114°
E115.576172°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
N 54.308512°
E115.573425°		 ← 178.19 m →
31 741 m²		 N 54.308512°
E115.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821041107177734 y=0.319614410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821041107177734 × 217)
    floor (0.821041107177734 × 131072)
    floor (107615.5)     		tx = 107615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319614410400391 × 217)
    floor (0.319614410400391 × 131072)
    floor (41892.5)     		ty = 41892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107615 / 41892 ti = "17/107615/41892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107615/41892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107615 ÷ 217
    107615 ÷ 131072     		x = 0.821037292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41892 ÷ 217
    41892 ÷ 131072     		y = 0.319610595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821037292480469 × 2 - 1) × π
    0.642074584960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.01713680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319610595703125 × 2 - 1) × π
    0.36077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13342005461661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01713680} λ = 2.01713680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13342005461661))-π/2
    2×atan(3.10626193968321)-π/2
    2×1.25934331956448-π/2
    2.51868663912895-1.57079632675     		φ = 0.94789031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01713680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.573425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94789031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.310114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107615 KachelY 41892 2.01713680 0.94789031 115.573425 54.310114
    Oben rechts KachelX + 1 107616 KachelY 41892 2.01718474 0.94789031 115.576172 54.310114
    Unten links KachelX 107615 KachelY + 1 41893 2.01713680 0.94786235 115.573425 54.308512
    Unten rechts KachelX + 1 107616 KachelY + 1 41893 2.01718474 0.94786235 115.576172 54.308512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94789031-0.94786235) × R
    2.79600000000491e-05 × 6371000     		dl = 178.133160000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94789031-0.94786235) × R
    2.79600000000491e-05 × 6371000     		dr = 178.133160000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01713680-2.01718474) × cos(0.94789031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583397848272506 × 6371000     		do = 178.184719522921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01713680-2.01718474) × cos(0.94786235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58342055677969 × 6371000     		du = 178.191655285532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94789031)-sin(0.94786235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583397848272506-0.58342055677969)×R²
    abs(2.01718474-2.01713680)×2.27085071838884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27085071838884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27085071838884e-05×40589641000000     		ar = 31741.2248990846m²