Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107614 / 42514
↖ ↑ ↗
← N 53.301338°
E115.570679°		 ← 182.52 m → N 53.301338°
E115.573425°		 →
↑
182.53 m
↓
↑
182.53 m
↓
N 53.299697°
E115.570679°		 ← 182.53 m →
33 317 m²		 N 53.299697°
E115.573425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821033477783203 y=0.324359893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821033477783203 × 217)
    floor (0.821033477783203 × 131072)
    floor (107614.5)     		tx = 107614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324359893798828 × 217)
    floor (0.324359893798828 × 131072)
    floor (42514.5)     		ty = 42514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107614 / 42514 ti = "17/107614/42514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107614/42514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107614 ÷ 217
    107614 ÷ 131072     		x = 0.821029663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42514 ÷ 217
    42514 ÷ 131072     		y = 0.324356079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821029663085938 × 2 - 1) × π
    0.642059326171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01708886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324356079101562 × 2 - 1) × π
    0.351287841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10360330305293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01708886} λ = 2.01708886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10360330305293))-π/2
    2×atan(3.01501047073264)-π/2
    2×1.25054008923451-π/2
    2.50108017846901-1.57079632675     		φ = 0.93028385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01708886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.570679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93028385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.301338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107614 KachelY 42514 2.01708886 0.93028385 115.570679 53.301338
    Oben rechts KachelX + 1 107615 KachelY 42514 2.01713680 0.93028385 115.573425 53.301338
    Unten links KachelX 107614 KachelY + 1 42515 2.01708886 0.93025520 115.570679 53.299697
    Unten rechts KachelX + 1 107615 KachelY + 1 42515 2.01713680 0.93025520 115.573425 53.299697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93028385-0.93025520) × R
    2.86500000000744e-05 × 6371000     		dl = 182.529150000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93028385-0.93025520) × R
    2.86500000000744e-05 × 6371000     		dr = 182.529150000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01708886-2.01713680) × cos(0.93028385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597606418386146 × 6371000     		do = 182.524382564219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01708886-2.01713680) × cos(0.93025520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597629389413027 × 6371000     		du = 182.531398507102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93028385)-sin(0.93025520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597606418386146-0.597629389413027)×R²
    abs(2.01713680-2.01708886)×2.29710268804251e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29710268804251e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29710268804251e-05×40589641000000     		ar = 33316.6607132334m²