Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107609 / 42568
↖ ↑ ↗
← N 53.212612°
E115.556946°		 ← 182.87 m → N 53.212612°
E115.559692°		 →
↑
182.91 m
↓
↑
182.91 m
↓
N 53.210967°
E115.556946°		 ← 182.87 m →
33 449 m²		 N 53.210967°
E115.559692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820995330810547 y=0.324771881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820995330810547 × 217)
    floor (0.820995330810547 × 131072)
    floor (107609.5)     		tx = 107609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324771881103516 × 217)
    floor (0.324771881103516 × 131072)
    floor (42568.5)     		ty = 42568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107609 / 42568 ti = "17/107609/42568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107609/42568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107609 ÷ 217
    107609 ÷ 131072     		x = 0.820991516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42568 ÷ 217
    42568 ÷ 131072     		y = 0.32476806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820991516113281 × 2 - 1) × π
    0.641983032226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.01684918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32476806640625 × 2 - 1) × π
    0.3504638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10101471047345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01684918} λ = 2.01684918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10101471047345))-π/2
    2×atan(3.00721592979893)-π/2
    2×1.2497658065387-π/2
    2.4995316130774-1.57079632675     		φ = 0.92873529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01684918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.556946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92873529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.212612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107609 KachelY 42568 2.01684918 0.92873529 115.556946 53.212612
    Oben rechts KachelX + 1 107610 KachelY 42568 2.01689711 0.92873529 115.559692 53.212612
    Unten links KachelX 107609 KachelY + 1 42569 2.01684918 0.92870658 115.556946 53.210967
    Unten rechts KachelX + 1 107610 KachelY + 1 42569 2.01689711 0.92870658 115.559692 53.210967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92873529-0.92870658) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dl = 182.911410000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92873529-0.92870658) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dr = 182.911410000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01684918-2.01689711) × cos(0.92873529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59884732065738 × 6371000     		do = 182.86523349611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01684918-2.01689711) × cos(0.92870658) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598870313193429 × 6371000     		du = 182.872254543593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92873529)-sin(0.92870658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59884732065738-0.598870313193429)×R²
    abs(2.01689711-2.01684918)×2.29925360487604e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29925360487604e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29925360487604e-05×40589641000000     		ar = 33448.7798158238m²