Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107605 / 42580
↖ ↑ ↗
← N 53.192870°
E115.545959°		 ← 182.99 m → N 53.192870°
E115.548706°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 53.191224°
E115.545959°		 ← 182.99 m →
33 483 m²		 N 53.191224°
E115.548706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820964813232422 y=0.324863433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820964813232422 × 217)
    floor (0.820964813232422 × 131072)
    floor (107605.5)     		tx = 107605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324863433837891 × 217)
    floor (0.324863433837891 × 131072)
    floor (42580.5)     		ty = 42580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107605 / 42580 ti = "17/107605/42580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107605/42580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107605 ÷ 217
    107605 ÷ 131072     		x = 0.820960998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42580 ÷ 217
    42580 ÷ 131072     		y = 0.324859619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820960998535156 × 2 - 1) × π
    0.641921997070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.01665743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324859619140625 × 2 - 1) × π
    0.35028076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10043946767801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01665743} λ = 2.01665743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10043946767801))-π/2
    2×atan(3.00548654795589)-π/2
    2×1.24959352555678-π/2
    2.49918705111356-1.57079632675     		φ = 0.92839072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01665743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.545959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92839072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.192870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107605 KachelY 42580 2.01665743 0.92839072 115.545959 53.192870
    Oben rechts KachelX + 1 107606 KachelY 42580 2.01670537 0.92839072 115.548706 53.192870
    Unten links KachelX 107605 KachelY + 1 42581 2.01665743 0.92836200 115.545959 53.191224
    Unten rechts KachelX + 1 107606 KachelY + 1 42581 2.01670537 0.92836200 115.548706 53.191224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92839072-0.92836200) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92839072-0.92836200) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01665743-2.01670537) × cos(0.92839072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599123238539236 × 6371000     		do = 182.987658481923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01665743-2.01670537) × cos(0.92836200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599146233156042 × 6371000     		du = 182.994681629777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92839072)-sin(0.92836200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599123238539236-0.599146233156042)×R²
    abs(2.01670537-2.01665743)×2.29946168065487e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29946168065487e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29946168065487e-05×40589641000000     		ar = 33482.8313022142m²