Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107605 / 41853
↖ ↑ ↗
← N 54.372559°
E115.545959°		 ← 177.91 m → N 54.372559°
E115.548706°		 →
↑
177.88 m
↓
↑
177.88 m
↓
N 54.370959°
E115.545959°		 ← 177.92 m →
31 648 m²		 N 54.370959°
E115.548706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820964813232422 y=0.319316864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820964813232422 × 217)
    floor (0.820964813232422 × 131072)
    floor (107605.5)     		tx = 107605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319316864013672 × 217)
    floor (0.319316864013672 × 131072)
    floor (41853.5)     		ty = 41853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107605 / 41853 ti = "17/107605/41853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107605/41853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107605 ÷ 217
    107605 ÷ 131072     		x = 0.820960998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41853 ÷ 217
    41853 ÷ 131072     		y = 0.319313049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820960998535156 × 2 - 1) × π
    0.641921997070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.01665743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319313049316406 × 2 - 1) × π
    0.361373901367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.13528959370179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01665743} λ = 2.01665743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13528959370179))-π/2
    2×atan(3.11207464963945)-π/2
    2×1.25988824817604-π/2
    2.51977649635209-1.57079632675     		φ = 0.94898017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01665743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.545959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94898017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.372559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107605 KachelY 41853 2.01665743 0.94898017 115.545959 54.372559
    Oben rechts KachelX + 1 107606 KachelY 41853 2.01670537 0.94898017 115.548706 54.372559
    Unten links KachelX 107605 KachelY + 1 41854 2.01665743 0.94895225 115.545959 54.370959
    Unten rechts KachelX + 1 107606 KachelY + 1 41854 2.01670537 0.94895225 115.548706 54.370959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94898017-0.94895225) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dl = 177.878319999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94898017-0.94895225) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dr = 177.878319999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01665743-2.01670537) × cos(0.94898017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582512332363676 × 6371000     		do = 177.914260171185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01665743-2.01670537) × cos(0.94895225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582535026123075 × 6371000     		du = 177.921191429443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94898017)-sin(0.94895225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582512332363676-0.582535026123075)×R²
    abs(2.01670537-2.01665743)×2.26937593988952e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26937593988952e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26937593988952e-05×40589641000000     		ar = 31647.7061656472m²