Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107605 / 41819
↖ ↑ ↗
← N 54.426920°
E115.545959°		 ← 177.68 m → N 54.426920°
E115.548706°		 →
↑
177.69 m
↓
↑
177.69 m
↓
N 54.425322°
E115.545959°		 ← 177.69 m →
31 572 m²		 N 54.425322°
E115.548706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820964813232422 y=0.319057464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820964813232422 × 217)
    floor (0.820964813232422 × 131072)
    floor (107605.5)     		tx = 107605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319057464599609 × 217)
    floor (0.319057464599609 × 131072)
    floor (41819.5)     		ty = 41819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107605 / 41819 ti = "17/107605/41819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107605/41819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107605 ÷ 217
    107605 ÷ 131072     		x = 0.820960998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41819 ÷ 217
    41819 ÷ 131072     		y = 0.319053649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820960998535156 × 2 - 1) × π
    0.641921997070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.01665743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319053649902344 × 2 - 1) × π
    0.361892700195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.13691944828887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01665743} λ = 2.01665743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13691944828887))-π/2
    2×atan(3.11715101452705)-π/2
    2×1.2603626390021-π/2
    2.52072527800419-1.57079632675     		φ = 0.94992895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01665743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.545959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94992895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.426920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107605 KachelY 41819 2.01665743 0.94992895 115.545959 54.426920
    Oben rechts KachelX + 1 107606 KachelY 41819 2.01670537 0.94992895 115.548706 54.426920
    Unten links KachelX 107605 KachelY + 1 41820 2.01665743 0.94990106 115.545959 54.425322
    Unten rechts KachelX + 1 107606 KachelY + 1 41820 2.01670537 0.94990106 115.548706 54.425322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94992895-0.94990106) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dl = 177.687190000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94992895-0.94990106) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dr = 177.687190000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01665743-2.01670537) × cos(0.94992895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581740881167252 × 6371000     		do = 177.678639118644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01665743-2.01670537) × cos(0.94990106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581763565946712 × 6371000     		du = 177.685567634197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94992895)-sin(0.94990106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581740881167252-0.581763565946712)×R²
    abs(2.01670537-2.01665743)×2.26847794601026e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26847794601026e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26847794601026e-05×40589641000000     		ar = 31571.8336642619m²