Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107604 / 41844
↖ ↑ ↗
← N 54.386955°
E115.543213°		 ← 177.85 m → N 54.386955°
E115.545959°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
N 54.385356°
E115.543213°		 ← 177.86 m →
31 625 m²		 N 54.385356°
E115.545959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820957183837891 y=0.319248199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820957183837891 × 217)
    floor (0.820957183837891 × 131072)
    floor (107604.5)     		tx = 107604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319248199462891 × 217)
    floor (0.319248199462891 × 131072)
    floor (41844.5)     		ty = 41844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107604 / 41844 ti = "17/107604/41844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107604/41844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107604 ÷ 217
    107604 ÷ 131072     		x = 0.820953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41844 ÷ 217
    41844 ÷ 131072     		y = 0.319244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820953369140625 × 2 - 1) × π
    0.64190673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01660949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319244384765625 × 2 - 1) × π
    0.36151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13572102579837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01660949} λ = 2.01660949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13572102579837))-π/2
    2×atan(3.11341758820283)-π/2
    2×1.26001388340321-π/2
    2.52002776680642-1.57079632675     		φ = 0.94923144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01660949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.543213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94923144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.386955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107604 KachelY 41844 2.01660949 0.94923144 115.543213 54.386955
    Oben rechts KachelX + 1 107605 KachelY 41844 2.01665743 0.94923144 115.545959 54.386955
    Unten links KachelX 107604 KachelY + 1 41845 2.01660949 0.94920353 115.543213 54.385356
    Unten rechts KachelX + 1 107605 KachelY + 1 41845 2.01665743 0.94920353 115.545959 54.385356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94923144-0.94920353) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dl = 177.814610000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94923144-0.94920353) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dr = 177.814610000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01660949-2.01665743) × cos(0.94923144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582308076227123 × 6371000     		do = 177.851875089529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01660949-2.01665743) × cos(0.94920353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582330765942956 × 6371000     		du = 177.858805112778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94923144)-sin(0.94920353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582308076227123-0.582330765942956)×R²
    abs(2.01665743-2.01660949)×2.26897158335237e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26897158335237e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26897158335237e-05×40589641000000     		ar = 31625.2779385975m²