Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107601 / 41849
↖ ↑ ↗
← N 54.378958°
E115.534973°		 ← 177.89 m → N 54.378958°
E115.537720°		 →
↑
177.88 m
↓
↑
177.88 m
↓
N 54.377358°
E115.534973°		 ← 177.89 m →
31 643 m²		 N 54.377358°
E115.537720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820934295654297 y=0.319286346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820934295654297 × 217)
    floor (0.820934295654297 × 131072)
    floor (107601.5)     		tx = 107601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319286346435547 × 217)
    floor (0.319286346435547 × 131072)
    floor (41849.5)     		ty = 41849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107601 / 41849 ti = "17/107601/41849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107601/41849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107601 ÷ 217
    107601 ÷ 131072     		x = 0.820930480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41849 ÷ 217
    41849 ÷ 131072     		y = 0.319282531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820930480957031 × 2 - 1) × π
    0.641860961914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.01646568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319282531738281 × 2 - 1) × π
    0.361434936523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.13548134130027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01646568} λ = 2.01646568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13548134130027))-π/2
    2×atan(3.11267143969451)-π/2
    2×1.25994409149448-π/2
    2.51988818298896-1.57079632675     		φ = 0.94909186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01646568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.534973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94909186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.378958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107601 KachelY 41849 2.01646568 0.94909186 115.534973 54.378958
    Oben rechts KachelX + 1 107602 KachelY 41849 2.01651362 0.94909186 115.537720 54.378958
    Unten links KachelX 107601 KachelY + 1 41850 2.01646568 0.94906394 115.534973 54.377358
    Unten rechts KachelX + 1 107602 KachelY + 1 41850 2.01651362 0.94906394 115.537720 54.377358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94909186-0.94906394) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dl = 177.878319999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94909186-0.94906394) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dr = 177.878319999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01646568-2.01651362) × cos(0.94909186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582421544656551 × 6371000     		do = 177.886531268553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01646568-2.01651362) × cos(0.94906394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582444240232341 × 6371000     		du = 177.893463081584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94909186)-sin(0.94906394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582421544656551-0.582444240232341)×R²
    abs(2.01651362-2.01646568)×2.26955757902658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26955757902658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26955757902658e-05×40589641000000     		ar = 31642.7738444313m²