Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10760 / 5641
↖ ↑ ↗
← N 81.510977°
W120.893554°		 ← 90.16 m → N 81.510977°
W120.888062°		 →
↑
90.15 m
↓
↑
90.15 m
↓
N 81.510166°
W120.893554°		 ← 90.17 m →
8 129 m²		 N 81.510166°
W120.888062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164192199707031 y=0.0860824584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164192199707031 × 216)
    floor (0.164192199707031 × 65536)
    floor (10760.5)     		tx = 10760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0860824584960938 × 216)
    floor (0.0860824584960938 × 65536)
    floor (5641.5)     		ty = 5641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10760 / 5641 ti = "16/10760/5641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10760/5641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10760 ÷ 216
    10760 ÷ 65536     		x = 0.1641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5641 ÷ 216
    5641 ÷ 65536     		y = 0.0860748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10999057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0860748291015625 × 2 - 1) × π
    0.827850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60076855198653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10999057} λ = -2.10999057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60076855198653))-π/2
    2×atan(13.474089594961)-π/2
    2×1.49671562497521-π/2
    2.99343124995043-1.57079632675     		φ = 1.42263492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10999057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.893554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42263492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.510977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10760 KachelY 5641 -2.10999057 1.42263492 -120.893554 81.510977
    Oben rechts KachelX + 1 10761 KachelY 5641 -2.10989470 1.42263492 -120.888062 81.510977
    Unten links KachelX 10760 KachelY + 1 5642 -2.10999057 1.42262077 -120.893554 81.510166
    Unten rechts KachelX + 1 10761 KachelY + 1 5642 -2.10989470 1.42262077 -120.888062 81.510166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42263492-1.42262077) × R
    1.4149999999935e-05 × 6371000     		dl = 90.1496499995862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42263492-1.42262077) × R
    1.4149999999935e-05 × 6371000     		dr = 90.1496499995862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10999057--2.10989470) × cos(1.42263492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147619933130416 × 6371000     		do = 90.164449764274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10999057--2.10989470) × cos(1.42262077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147633928090536 × 6371000     		du = 90.1729977147571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42263492)-sin(1.42262077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147619933130416-0.147633928090536)×R²
    abs(-2.10989470--2.10999057)×1.3994960120195e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3994960120195e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3994960120195e-05×40589641000000     		ar = 8128.67888600029m²