Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1076 / 947
↖ ↑ ↗
← N 79.788958°
W132.714844°		 ← 866.25 m → N 79.788958°
W132.670898°		 →
↑
866.58 m
↓
↑
866.58 m
↓
N 79.781164°
W132.714844°		 ← 866.90 m →
750 962 m²		 N 79.781164°
W132.670898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13140869140625 y=0.11566162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13140869140625 × 213)
    floor (0.13140869140625 × 8192)
    floor (1076.5)     		tx = 1076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11566162109375 × 213)
    floor (0.11566162109375 × 8192)
    floor (947.5)     		ty = 947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1076 / 947 ti = "13/1076/947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1076/947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1076 ÷ 213
    1076 ÷ 8192     		x = 0.13134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 947 ÷ 213
    947 ÷ 8192     		y = 0.1156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13134765625 × 2 - 1) × π
    -0.7373046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31631099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1156005859375 × 2 - 1) × π
    0.768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41525275045691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31631099} λ = -2.31631099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41525275045691))-π/2
    2×atan(11.1925989345703)-π/2
    2×1.48168817155191-π/2
    2.96337634310381-1.57079632675     		φ = 1.39258002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31631099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39258002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.788958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1076 KachelY 947 -2.31631099 1.39258002 -132.714844 79.788958
    Oben rechts KachelX + 1 1077 KachelY 947 -2.31554400 1.39258002 -132.670898 79.788958
    Unten links KachelX 1076 KachelY + 1 948 -2.31631099 1.39244400 -132.714844 79.781164
    Unten rechts KachelX + 1 1077 KachelY + 1 948 -2.31554400 1.39244400 -132.670898 79.781164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39258002-1.39244400) × R
    0.000136020000000014 × 6371000     		dl = 866.583420000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39258002-1.39244400) × R
    0.000136020000000014 × 6371000     		dr = 866.583420000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31631099--2.31554400) × cos(1.39258002) × R
    0.000766989999999801 × 0.177274414249936 × 6371000     		do = 866.250235720765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31631099--2.31554400) × cos(1.39244400) × R
    0.000766989999999801 × 0.177408278251583 × 6371000     		du = 866.904361266587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39258002)-sin(1.39244400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177274414249936-0.177408278251583)×R²
    abs(-2.31554400--2.31631099)×0.000133864001647221×R²
    0.000766989999999801×0.000133864001647221×6371000²
    0.000766989999999801×0.000133864001647221×40589641000000     		ar = 750961.520179009m²