Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107598 / 41847
↖ ↑ ↗
← N 54.382157°
E115.526733°		 ← 177.87 m → N 54.382157°
E115.529480°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
N 54.380558°
E115.526733°		 ← 177.88 m →
31 629 m²		 N 54.380558°
E115.529480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820911407470703 y=0.319271087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820911407470703 × 217)
    floor (0.820911407470703 × 131072)
    floor (107598.5)     		tx = 107598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319271087646484 × 217)
    floor (0.319271087646484 × 131072)
    floor (41847.5)     		ty = 41847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107598 / 41847 ti = "17/107598/41847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107598/41847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107598 ÷ 217
    107598 ÷ 131072     		x = 0.820907592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41847 ÷ 217
    41847 ÷ 131072     		y = 0.319267272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820907592773438 × 2 - 1) × π
    0.641815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01632187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319267272949219 × 2 - 1) × π
    0.361465454101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.13557721509951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01632187} λ = 2.01632187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13557721509951))-π/2
    2×atan(3.11296987763718)-π/2
    2×1.25997200988982-π/2
    2.51994401977964-1.57079632675     		φ = 0.94914769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01632187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.526733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94914769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.382157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107598 KachelY 41847 2.01632187 0.94914769 115.526733 54.382157
    Oben rechts KachelX + 1 107599 KachelY 41847 2.01636981 0.94914769 115.529480 54.382157
    Unten links KachelX 107598 KachelY + 1 41848 2.01632187 0.94911978 115.526733 54.380558
    Unten rechts KachelX + 1 107599 KachelY + 1 41848 2.01636981 0.94911978 115.529480 54.380558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94914769-0.94911978) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dl = 177.814610000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94914769-0.94911978) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dr = 177.814610000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01632187-2.01636981) × cos(0.94914769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582376160272143 × 6371000     		do = 177.872669709361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01632187-2.01636981) × cos(0.94911978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582398848626748 × 6371000     		du = 177.879599316856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94914769)-sin(0.94911978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582376160272143-0.582398848626748)×R²
    abs(2.01636981-2.01632187)×2.26883546041723e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26883546041723e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26883546041723e-05×40589641000000     		ar = 31628.9754887681m²