Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107597 / 41845
↖ ↑ ↗
← N 54.385356°
E115.523987°		 ← 177.86 m → N 54.385356°
E115.526733°		 →
↑
177.88 m
↓
↑
177.88 m
↓
N 54.383756°
E115.523987°		 ← 177.87 m →
31 638 m²		 N 54.383756°
E115.526733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820903778076172 y=0.319255828857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820903778076172 × 217)
    floor (0.820903778076172 × 131072)
    floor (107597.5)     		tx = 107597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319255828857422 × 217)
    floor (0.319255828857422 × 131072)
    floor (41845.5)     		ty = 41845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107597 / 41845 ti = "17/107597/41845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107597/41845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107597 ÷ 217
    107597 ÷ 131072     		x = 0.820899963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41845 ÷ 217
    41845 ÷ 131072     		y = 0.319252014160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820899963378906 × 2 - 1) × π
    0.641799926757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.01627393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319252014160156 × 2 - 1) × π
    0.361495971679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.13567308889875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01627393} λ = 2.01627393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13567308889875))-π/2
    2×atan(3.1132683441936)-π/2
    2×1.25999992610935-π/2
    2.5199998522187-1.57079632675     		φ = 0.94920353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01627393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.523987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94920353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.385356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107597 KachelY 41845 2.01627393 0.94920353 115.523987 54.385356
    Oben rechts KachelX + 1 107598 KachelY 41845 2.01632187 0.94920353 115.526733 54.385356
    Unten links KachelX 107597 KachelY + 1 41846 2.01627393 0.94917561 115.523987 54.383756
    Unten rechts KachelX + 1 107598 KachelY + 1 41846 2.01632187 0.94917561 115.526733 54.383756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94920353-0.94917561) × R
    2.79200000000701e-05 × 6371000     		dl = 177.878320000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94920353-0.94917561) × R
    2.79200000000701e-05 × 6371000     		dr = 177.878320000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01627393-2.01632187) × cos(0.94920353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582330765942956 × 6371000     		do = 177.858805112778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01627393-2.01632187) × cos(0.94917561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58235346333453 × 6371000     		du = 177.865737480395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94920353)-sin(0.94917561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582330765942956-0.58235346333453)×R²
    abs(2.01632187-2.01627393)×2.26973915735673e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26973915735673e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26973915735673e-05×40589641000000     		ar = 31637.8420116698m²