Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107593 / 54329
↖ ↑ ↗
← N 29.398927°
E115.513001°		 ← 266.04 m → N 29.398927°
E115.515747°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
N 29.396534°
E115.513001°		 ← 266.04 m →
70 798 m²		 N 29.396534°
E115.515747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820873260498047 y=0.414501190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820873260498047 × 217)
    floor (0.820873260498047 × 131072)
    floor (107593.5)     		tx = 107593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414501190185547 × 217)
    floor (0.414501190185547 × 131072)
    floor (54329.5)     		ty = 54329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107593 / 54329 ti = "17/107593/54329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107593/54329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107593 ÷ 217
    107593 ÷ 131072     		x = 0.820869445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54329 ÷ 217
    54329 ÷ 131072     		y = 0.414497375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820869445800781 × 2 - 1) × π
    0.641738891601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.01608219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414497375488281 × 2 - 1) × π
    0.171005249023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.537228834041969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01608219} λ = 2.01608219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.537228834041969))-π/2
    2×atan(1.7112581052204)-π/2
    2×1.04195219671207-π/2
    2.08390439342413-1.57079632675     		φ = 0.51310807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01608219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.513001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51310807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.398927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107593 KachelY 54329 2.01608219 0.51310807 115.513001 29.398927
    Oben rechts KachelX + 1 107594 KachelY 54329 2.01613012 0.51310807 115.515747 29.398927
    Unten links KachelX 107593 KachelY + 1 54330 2.01608219 0.51306630 115.513001 29.396534
    Unten rechts KachelX + 1 107594 KachelY + 1 54330 2.01613012 0.51306630 115.515747 29.396534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51310807-0.51306630) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dl = 266.116670000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51310807-0.51306630) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dr = 266.116670000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01608219-2.01613012) × cos(0.51310807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.871223005637057 × 6371000     		do = 266.038425584196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01608219-2.01613012) × cos(0.51306630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.871243509245211 × 6371000     		du = 266.044686607604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51310807)-sin(0.51306630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871223005637057-0.871243509245211)×R²
    abs(2.01613012-2.01608219)×2.05036081540877e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.05036081540877e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.05036081540877e-05×40589641000000     		ar = 70798.0930002066m²