Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107592 / 47945
↖ ↑ ↗
← N 43.434971°
E115.510254°		 ← 221.79 m → N 43.434971°
E115.513001°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
N 43.432977°
E115.510254°		 ← 221.79 m →
49 187 m²		 N 43.432977°
E115.513001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820865631103516 y=0.365795135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820865631103516 × 217)
    floor (0.820865631103516 × 131072)
    floor (107592.5)     		tx = 107592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365795135498047 × 217)
    floor (0.365795135498047 × 131072)
    floor (47945.5)     		ty = 47945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107592 / 47945 ti = "17/107592/47945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107592/47945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107592 ÷ 217
    107592 ÷ 131072     		x = 0.82086181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47945 ÷ 217
    47945 ÷ 131072     		y = 0.365791320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82086181640625 × 2 - 1) × π
    0.6417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01603425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365791320800781 × 2 - 1) × π
    0.268417358398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.843258001216408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01603425} λ = 2.01603425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843258001216408))-π/2
    2×atan(2.32392601019279)-π/2
    2×1.16443979544692-π/2
    2.32887959089384-1.57079632675     		φ = 0.75808326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01603425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75808326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.434971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107592 KachelY 47945 2.01603425 0.75808326 115.510254 43.434971
    Oben rechts KachelX + 1 107593 KachelY 47945 2.01608219 0.75808326 115.513001 43.434971
    Unten links KachelX 107592 KachelY + 1 47946 2.01603425 0.75804845 115.510254 43.432977
    Unten rechts KachelX + 1 107593 KachelY + 1 47946 2.01608219 0.75804845 115.513001 43.432977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75808326-0.75804845) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dl = 221.77451000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75808326-0.75804845) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dr = 221.77451000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01603425-2.01608219) × cos(0.75808326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.726155161738769 × 6371000     		do = 221.786477628738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01603425-2.01608219) × cos(0.75804845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.726179094247986 × 6371000     		du = 221.793787233076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75808326)-sin(0.75804845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726155161738769-0.726179094247986)×R²
    abs(2.01608219-2.01603425)×2.39325092176168e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39325092176168e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39325092176168e-05×40589641000000     		ar = 49187.3979478621m²