Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107591 / 100469
↖ ↑ ↗
← S 68.773208°
E115.507507°		 ← 110.58 m → S 68.773208°
E115.510254°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
S 68.774202°
E115.507507°		 ← 110.58 m →
12 230 m²		 S 68.774202°
E115.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820858001708984 y=0.766521453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820858001708984 × 217)
    floor (0.820858001708984 × 131072)
    floor (107591.5)     		tx = 107591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766521453857422 × 217)
    floor (0.766521453857422 × 131072)
    floor (100469.5)     		ty = 100469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107591 / 100469 ti = "17/107591/100469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107591/100469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107591 ÷ 217
    107591 ÷ 131072     		x = 0.820854187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100469 ÷ 217
    100469 ÷ 131072     		y = 0.766517639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820854187011719 × 2 - 1) × π
    0.641708374023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.01598631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766517639160156 × 2 - 1) × π
    -0.533035278320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.67457971442742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01598631} λ = 2.01598631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67457971442742))-π/2
    2×atan(0.187386918952792)-π/2
    2×0.18523870719974-π/2
    0.37047741439948-1.57079632675     		φ = -1.20031891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01598631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.507507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20031891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.773208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107591 KachelY 100469 2.01598631 -1.20031891 115.507507 -68.773208
    Oben rechts KachelX + 1 107592 KachelY 100469 2.01603425 -1.20031891 115.510254 -68.773208
    Unten links KachelX 107591 KachelY + 1 100470 2.01598631 -1.20033627 115.507507 -68.774202
    Unten rechts KachelX + 1 107592 KachelY + 1 100470 2.01603425 -1.20033627 115.510254 -68.774202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20031891--1.20033627) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20031891--1.20033627) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01598631-2.01603425) × cos(-1.20031891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362060499470264 × 6371000     		do = 110.582595975403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01598631-2.01603425) × cos(-1.20033627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362044317211886 × 6371000     		du = 110.577653497162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20031891)-sin(-1.20033627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362060499470264-0.362044317211886)×R²
    abs(2.01603425-2.01598631)×1.61822583788496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61822583788496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61822583788496e-05×40589641000000     		ar = 12230.2237209816m²