Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107590 / 100468
↖ ↑ ↗
← S 68.772214°
E115.504761°		 ← 110.56 m → S 68.772214°
E115.507507°		 →
↑
110.54 m
↓
↑
110.54 m
↓
S 68.773208°
E115.504761°		 ← 110.56 m →
12 221 m²		 S 68.773208°
E115.507507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820850372314453 y=0.766513824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820850372314453 × 217)
    floor (0.820850372314453 × 131072)
    floor (107590.5)     		tx = 107590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766513824462891 × 217)
    floor (0.766513824462891 × 131072)
    floor (100468.5)     		ty = 100468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107590 / 100468 ti = "17/107590/100468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107590/100468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107590 ÷ 217
    107590 ÷ 131072     		x = 0.820846557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100468 ÷ 217
    100468 ÷ 131072     		y = 0.766510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820846557617188 × 2 - 1) × π
    0.641693115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01593838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766510009765625 × 2 - 1) × π
    -0.53302001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6745317775278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01593838} λ = 2.01593838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6745317775278))-π/2
    2×atan(0.187395901916022)-π/2
    2×0.185247385422486-π/2
    0.370494770844972-1.57079632675     		φ = -1.20030156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01593838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.504761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20030156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.772214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107590 KachelY 100468 2.01593838 -1.20030156 115.504761 -68.772214
    Oben rechts KachelX + 1 107591 KachelY 100468 2.01598631 -1.20030156 115.507507 -68.772214
    Unten links KachelX 107590 KachelY + 1 100469 2.01593838 -1.20031891 115.504761 -68.773208
    Unten rechts KachelX + 1 107591 KachelY + 1 100469 2.01598631 -1.20031891 115.507507 -68.773208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20030156--1.20031891) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dl = 110.536850000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20030156--1.20031891) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dr = 110.536850000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01593838-2.01598631) × cos(-1.20030156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362076672298046 × 6371000     		do = 110.564467668644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01593838-2.01598631) × cos(-1.20031891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362060499470264 × 6371000     		du = 110.559529101122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20030156)-sin(-1.20031891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362076672298046-0.362060499470264)×R²
    abs(2.01598631-2.01593838)×1.6172827781713e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6172827781713e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6172827781713e-05×40589641000000     		ar = 12221.1750316183m²