Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10759 / 15871
↖ ↑ ↗
← N 67.611313°
W120.899048°		 ← 232.67 m → N 67.611313°
W120.893554°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
N 67.609220°
W120.899048°		 ← 232.69 m →
54 137 m²		 N 67.609220°
W120.893554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164176940917969 y=0.242179870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164176940917969 × 216)
    floor (0.164176940917969 × 65536)
    floor (10759.5)     		tx = 10759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242179870605469 × 216)
    floor (0.242179870605469 × 65536)
    floor (15871.5)     		ty = 15871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10759 / 15871 ti = "16/10759/15871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10759/15871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10759 ÷ 216
    10759 ÷ 65536     		x = 0.164169311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15871 ÷ 216
    15871 ÷ 65536     		y = 0.242172241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164169311523438 × 2 - 1) × π
    -0.671661376953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11008645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242172241210938 × 2 - 1) × π
    0.515655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61997958576018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11008645} λ = -2.11008645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61997958576018))-π/2
    2×atan(5.05298716261921)-π/2
    2×1.37541817491096-π/2
    2.75083634982193-1.57079632675     		φ = 1.18004002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11008645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.899048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18004002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.611313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10759 KachelY 15871 -2.11008645 1.18004002 -120.899048 67.611313
    Oben rechts KachelX + 1 10760 KachelY 15871 -2.10999057 1.18004002 -120.893554 67.611313
    Unten links KachelX 10759 KachelY + 1 15872 -2.11008645 1.18000350 -120.899048 67.609220
    Unten rechts KachelX + 1 10760 KachelY + 1 15872 -2.10999057 1.18000350 -120.893554 67.609220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18004002-1.18000350) × R
    3.65200000000954e-05 × 6371000     		dl = 232.668920000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18004002-1.18000350) × R
    3.65200000000954e-05 × 6371000     		dr = 232.668920000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11008645--2.10999057) × cos(1.18004002) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38088782132923 × 6371000     		do = 232.665889372783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11008645--2.10999057) × cos(1.18000350) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.380921588243505 × 6371000     		du = 232.686515942343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18004002)-sin(1.18000350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38088782132923-0.380921588243505)×R²
    abs(-2.10999057--2.11008645)×3.37669142748687e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.37669142748687e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.37669142748687e-05×40589641000000     		ar = 54136.5207881506m²