Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107586 / 42490
↖ ↑ ↗
← N 53.340713°
E115.493774°		 ← 182.36 m → N 53.340713°
E115.496521°		 →
↑
182.34 m
↓
↑
182.34 m
↓
N 53.339073°
E115.493774°		 ← 182.36 m →
33 251 m²		 N 53.339073°
E115.496521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820819854736328 y=0.324176788330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820819854736328 × 217)
    floor (0.820819854736328 × 131072)
    floor (107586.5)     		tx = 107586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324176788330078 × 217)
    floor (0.324176788330078 × 131072)
    floor (42490.5)     		ty = 42490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107586 / 42490 ti = "17/107586/42490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107586/42490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107586 ÷ 217
    107586 ÷ 131072     		x = 0.820816040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42490 ÷ 217
    42490 ÷ 131072     		y = 0.324172973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820816040039062 × 2 - 1) × π
    0.641632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01574663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324172973632812 × 2 - 1) × π
    0.351654052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10475378864381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01574663} λ = 2.01574663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10475378864381))-π/2
    2×atan(3.01848119296071)-π/2
    2×1.2508836994878-π/2
    2.5017673989756-1.57079632675     		φ = 0.93097107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01574663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.493774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93097107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.340713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107586 KachelY 42490 2.01574663 0.93097107 115.493774 53.340713
    Oben rechts KachelX + 1 107587 KachelY 42490 2.01579457 0.93097107 115.496521 53.340713
    Unten links KachelX 107586 KachelY + 1 42491 2.01574663 0.93094245 115.493774 53.339073
    Unten rechts KachelX + 1 107587 KachelY + 1 42491 2.01579457 0.93094245 115.496521 53.339073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93097107-0.93094245) × R
    2.86200000000347e-05 × 6371000     		dl = 182.338020000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93097107-0.93094245) × R
    2.86200000000347e-05 × 6371000     		dr = 182.338020000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01574663-2.01579457) × cos(0.93097107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597055271461835 × 6371000     		do = 182.356048107012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01574663-2.01579457) × cos(0.93094245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597078230184211 × 6371000     		du = 182.363060291784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93097107)-sin(0.93094245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597055271461835-0.597078230184211)×R²
    abs(2.01579457-2.01574663)×2.29587223761207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29587223761207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29587223761207e-05×40589641000000     		ar = 33251.0800431962m²