Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107583 / 40001
↖ ↑ ↗
← N 57.230017°
E115.485535°		 ← 165.32 m → N 57.230017°
E115.488282°		 →
↑
165.33 m
↓
↑
165.33 m
↓
N 57.228530°
E115.485535°		 ← 165.32 m →
27 332 m²		 N 57.228530°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820796966552734 y=0.305187225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820796966552734 × 217)
    floor (0.820796966552734 × 131072)
    floor (107583.5)     		tx = 107583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305187225341797 × 217)
    floor (0.305187225341797 × 131072)
    floor (40001.5)     		ty = 40001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107583 / 40001 ti = "17/107583/40001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107583/40001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107583 ÷ 217
    107583 ÷ 131072     		x = 0.820793151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40001 ÷ 217
    40001 ÷ 131072     		y = 0.305183410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820793151855469 × 2 - 1) × π
    0.641586303710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.01560282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305183410644531 × 2 - 1) × π
    0.389633178710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.22406873179813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01560282} λ = 2.01560282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22406873179813))-π/2
    2×atan(3.40099736685525)-π/2
    2×1.28482427183306-π/2
    2.56964854366613-1.57079632675     		φ = 0.99885222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01560282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.485535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99885222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.230017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107583 KachelY 40001 2.01560282 0.99885222 115.485535 57.230017
    Oben rechts KachelX + 1 107584 KachelY 40001 2.01565076 0.99885222 115.488282 57.230017
    Unten links KachelX 107583 KachelY + 1 40002 2.01560282 0.99882627 115.485535 57.228530
    Unten rechts KachelX + 1 107584 KachelY + 1 40002 2.01565076 0.99882627 115.488282 57.228530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99885222-0.99882627) × R
    2.59499999999413e-05 × 6371000     		dl = 165.327449999626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99885222-0.99882627) × R
    2.59499999999413e-05 × 6371000     		dr = 165.327449999626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01560282-2.01565076) × cos(0.99885222) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.54126777332622 × 6371000     		do = 165.317110207736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01560282-2.01565076) × cos(0.99882627) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.541289593208802 × 6371000     		du = 165.32377456152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99885222)-sin(0.99882627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54126777332622-0.541289593208802)×R²
    abs(2.01565076-2.01560282)×2.18198825825411e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.18198825825411e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.18198825825411e-05×40589641000000     		ar = 27332.0071737774m²