Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107581 / 42333
↖ ↑ ↗
← N 53.597395°
E115.480041°		 ← 181.26 m → N 53.597395°
E115.482788°		 →
↑
181.25 m
↓
↑
181.25 m
↓
N 53.595765°
E115.480041°		 ← 181.26 m →
32 854 m²		 N 53.595765°
E115.482788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820781707763672 y=0.322978973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820781707763672 × 217)
    floor (0.820781707763672 × 131072)
    floor (107581.5)     		tx = 107581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322978973388672 × 217)
    floor (0.322978973388672 × 131072)
    floor (42333.5)     		ty = 42333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107581 / 42333 ti = "17/107581/42333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107581/42333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107581 ÷ 217
    107581 ÷ 131072     		x = 0.820777893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42333 ÷ 217
    42333 ÷ 131072     		y = 0.322975158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820777893066406 × 2 - 1) × π
    0.641555786132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.01550694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322975158691406 × 2 - 1) × π
    0.354049682617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.11227988188416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01550694} λ = 2.01550694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11227988188416))-π/2
    2×atan(3.04128426525293)-π/2
    2×1.25312367013575-π/2
    2.5062473402715-1.57079632675     		φ = 0.93545101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01550694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.480041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93545101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.597395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107581 KachelY 42333 2.01550694 0.93545101 115.480041 53.597395
    Oben rechts KachelX + 1 107582 KachelY 42333 2.01555488 0.93545101 115.482788 53.597395
    Unten links KachelX 107581 KachelY + 1 42334 2.01550694 0.93542256 115.480041 53.595765
    Unten rechts KachelX + 1 107582 KachelY + 1 42334 2.01555488 0.93542256 115.482788 53.595765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93545101-0.93542256) × R
    2.84499999999577e-05 × 6371000     		dl = 181.25494999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93545101-0.93542256) × R
    2.84499999999577e-05 × 6371000     		dr = 181.25494999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01550694-2.01555488) × cos(0.93545101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593455483761839 × 6371000     		do = 181.256580284899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01550694-2.01555488) × cos(0.93542256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593478381982531 × 6371000     		du = 181.263573990898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93545101)-sin(0.93542256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593455483761839-0.593478381982531)×R²
    abs(2.01555488-2.01550694)×2.28982206920136e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28982206920136e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28982206920136e-05×40589641000000     		ar = 32854.2862209161m²